miércoles, 17 de diciembre de 2014

Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes.

Recuerdo que hace años en un programa de TV iban preguntando a la gente por la calle si les gustaría ser famosos. Hubo, como podéis imaginaros, respuestas de todo tipo aunque lo que más llamó la atención fue que nadie preguntase:
- Famoso, ¿por qué?
Porque claro, digo yo, que no es lo mismo ser famoso por haber descubierto la cura contra el cáncer que ser famoso por haberte pasado por la piedra hasta al gato de la Marujita Diez. Además solemos asumir que ser famoso es lo mismo que tener éxito y, lamentablemente, el tener éxito no es siempre algo bueno. Como ejemplo traigo a estas líneas al Bachiller Pérez de Moya (Santisteban del Puerto (Jaén) 1513 - Granada, 1597), matemático español del siglo XVI. Su principal obra: Aritmética práctica y especulativa conoció la friolera de, al menos, quince ediciones y fue libro obligado de texto desde su publicación en 1562 hasta principios del siglo XIX (la última edición es de 1798). No sé muy bien qué indica el hecho de que un libro esté vigor durante casi 250 años, porque más allá de su indudable calidad, el hecho de que pese a todos los avances registrados en el campo de las matemáticas durante esos años nadie se atreviera a escribir un nuevo tratado de aritmética, demuestra que el estado de languidez de la ciencia española no es un problema de hoy en día.

Pérez de Moya fue, además, un incansable divulgador de las matemáticas y plantea, en forma de diálogo, problemas que entran de ello en el campo de la matemática recreativa. Y en última instancia de eso va el post de hoy, porque de algunas cosas curiosas que me he encontrado en el libro ya hablaré otro día:

Señores y señoras, con Uds. el Bachiller Pérez de Moya:

La solución, próximamente.



jueves, 11 de diciembre de 2014

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (3)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs y se planteó la necesidad de los logaritmos. El cómo llegó Napier a ellos, cómo los calculó y probar cual es su utilidad son tareas que aún tenemos pendientes.

En el capítulo anterior ya vimos como relacionando una progresión geométrica con una aritmética podíamos convertir una multiplicación en una suma. El procedimiento funciona bien para cantidades discretas pero nos quedaba resolver el problema de rellenar los huecos.

Zenón planteó una serie de paradojas en las que demostraba que el movimiento no era posible. Por ejemplo en una de las variantes de la paradoja de Aquiles, el de los pies ligeros, y la tortuga, Aquiles no puede alcanzar a la tortuga, ya que ni siquiera puede ponerse en movimiento, porque antes de recorrer el tramo que le dio en ventaja, tendría que haber recorrido la mitad de ese tramo y antes de ese, la cuarta parte y antes la octava y así sucesivamente.

Demos ahora un giro a esta historia y pongamos a Aquiles sobre un segmento y a la tortuga sobre una recta. Los dos parten a la vez desde el punto A y a la misma velocidad. La tortuga se mueve a velocidad uniforme, pero Aquiles, al que castigó Hermes por su soberbia, se ve obligado a moverse cada vez más despacio a una velocidad proporcional a la distancia que le separa del final del segmento. El movimiento, como muestra la figura, ha de ser sincrónico de manera que cuando la tortuga llegue al punto C, Aquiles llegaría a γ, cuando la tortuga llegase a D, Aquiles llegaría a δ y así sucesivamente. Como veréis Aquiles está condenado a acercarse todo lo que quiera al final del segmento, pero nunca llegará a alcanzarlo.
Figura 1: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas
Vaya por delante que la historia de Aquiles es de mi cosecha y que Napier no la nombra en ningún momento, pero como el blog es mío me tomo las licencias poéticas que me apetecen.
Este es el símil cinemático que utilizó Napier y que le permitió obviar el problema de la continuidad. Quizás lo veréis mejor si en vez de situar las rectas paralelas las disponemos una perpendicular a la otra estando Aquiles en el eje X y la tortuga en el eje Y. Los puntos indican donde donde tienen que coincidir los dos y la línea roja la unión suave entre dichos puntos. Seguro que esta figura les resulta familiar a muchos:
Figura 2: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas situadas perpendicularmente la una a la otra.
Para entender como define Napier los logaritmos tenemos que remontarnos a lo que se estaba buscando: una forma sencilla de operar con senos y cosenos. Por esa razón Napier hace recorrer a Aquiles el seno de un ángulo1 que es un segmento, el sinus totus, de longitud arbitraria e igual a 10.000.000, mientras que la tortuga, despacio pero segura, recorre su línea recta a velocidad constante, de manera que para cualquier instante la distancia que le falta por recorrer a Aquiles para llegar al final del segmento es el seno y la distancia recorrida por la tortuga en el mismo tiempo es el logaritmo del seno. En consecuencia, mientras los senos decrecen en proporción geométrica, el logaritmo de Napier crece en proporción aritmética. La figura 3 muestra lo que entendía Napier por el logaritmo del seno.
Figura 3. La definición de logaritmo según Neper
La figura 4 muestra lo mismo pero de una forma a la que quizás estemos más acostumbrados.
Figura 4: La definición de logaritmo según Neper representada en forma moderna
Ahora si que estamos en condiciones de rellenar los huecos y de asistir a los retoques que permitirán dejar a los logaritmos tal y como los conocemos hoy en día; pero como ya estoy cansado, lo dejo para más adelante.






1 Pero ¡ojo!, no el seno tal como lo entendemos nosotros hoy en día si no tal y como se entendía en la época de Neper.

Bibliografía:


Logarithms: The Early History of a Familiar Function

The Logarithms, Its Discovery and Development

Las funciones logarítmica y exponencial por Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)

miércoles, 3 de diciembre de 2014

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa (2).

Una vez que esta historia ha dado comienzo parece razonable que empecemos por el principio y

en el principio eran los griegos...


El esquema general para determinar el radio terrestre se muestra en la figura. Midiendo s y α podemos determinar directamente el valor del radio terrestre.


La primera medición conocida del radio de la Tierra la llevó a cabo Eratóstenes hacia el 240 a. C. Tenía noticias de que en Siena (la actual Asuán) al mediodía del solsticio de verano el Sol iluminaba el fondo de un pozo, mientras que en Alejandría los árboles en ese mismo instante daban sombra. Asumiendo que el Sol se encontraba lo suficientemente lejos como para considerar sus rayos paralelos (cierto) y que Alejandria y Siena se encontraban en el mismo meridiano (falso) podría determinar el radio terrestre si conociese la distancia entre Alejandría y Siena. Una vez medida la sombra que proyectaba un obelisco en Alejandria, obtuvo que el valor del ángulo α era de 7º 12'. Ya solo le quedaba por determinar la distancia entre ésta y Siena.

Medición del arco de meridiano terrestre por Erastótenes

Hay tres hipótesis de cómo lo hizo: tomando el valor de la Biblioteca de Alejandría, donde era bibliotecario, mediante la distancia estimada por las caravanas de comerciantes que había entre las dos ciudades o valiéndose de un grupo de soldados que dieran pasos de tamaño uniforme. La distancia que finalmente utilizó fue de 5000 estadios, si bien hay controversias si es estadio era el egipcio1 que equivalía a 135 m, o 157 m si el codo utilizado era el real, o el griego (estadio ático) ligeramente mayor, e igual 174 m.
El resultado obtenido, en función del tipo de estadio empleado variaba entre los 5.374 km y los 6.931 km, frente a los 6.371 km reales, lo que corresponde a una circunferencia terrestre variable entre 33.750 km y 45.000 km). El error cometido, inferior en el peor de los casos al 16%, es insignificante, si bien hay que tener en cuenta que fue afortunado ya que los errores cometidos (la distancia no es la correcta y Alejandría y Siena no están en el mismo meridiano) se compensaron.

Pero Eratóstenes no fue el único griego al que le dió por medir el radio terrestre. Hacia el año 100 a. C. Posidonio determinó el radio terrestre tomando como referencia la estrella Canopus (Alfa Carinae, α Car). Posidonio observó que en Rodas, Canopus apenas era visible sobre el horizonte, mientras que en Alejandría ascendía hasta una altura de 7º 30' (realmente 5º 14')

El método de Posidonio
Posidonio estimo la distancia entre las dos ciudades en 5.000 estadios, lo que llevaría a un radio terrestre igual que en el caso anterior, variable entre los 5.159 y 6.900 km, o lo que es lo mismo una circunferencia terrestre entre 32.400 y 43.200 km, corroborando los resultados de Eratóstenes. Pero Estrabón primero, y Ptolomeo después redujeron la distancia entre Rodas y Alejandría a 3.750 estadios y 3.350 estadios, empequeñeciendo la circunferencia de la tierra hasta los 29.000 km, lo que facilitaría el viaje de Colón 1.500 años después.

Para simplificar las cosas ahí os va un cuadro resumen con lo que llevamos visto:

Valores de referencia




Radio terrestre

6.366 km
Circunferencia terrestre 40.000 km
Mediciones



distancia (estadios) 5.000 5.000 3.750 3.350
ángulo 7,2 7,5 7,5 7,5

Valor del radio terrestre en km según...




1 estadio = Eratóstenes Posidonio Estrabón Ptolomeo
135 m 5.374 5.159 3.869 3.457
157 m 6.250 6.000 4.500 4.020
174 m 6.927 6.650 4.987 4.455
180 m 7.166 6.879 5.159 4.609

Valor correspondiente de la circunferencia terrestre (en km)

33.750 32.400 24.300 21.708

39.250 37.680 28.260 25.246

43.500 41.760 31.320 27.979

45.000 43.200 32.400 28.944

Ubicación aproximada de las ciudades desde donde se hicieron estas medidas

Pero no fueron los griegos los únicos que intentaron medir el radio terrestre. También chinos y árabes hicieron sus propias medidas, pero eso lo dejaremos para más adelante.

1 A su vez la longitud del estadio egipcio, que equivale a 300 codos, depende de si utilizamos el codo egipcio o el real.