martes, 26 de mayo de 2015

¿Qué hace una progresión geométrica en nuestra vida? Ventas multinivel y fraudes piramidales.

Espero que gracias a las soluciones publicadas haya quedado claro que es necesario saber diferenciar entre progresiones geométricas y aritméticas y que, especialmente en las primeras, no es conveniente fiarse de sus primeros pasos.

Recordad que en las geométricas, cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante, y que es el típico tipo de crecimiento que tenemos que tener en cuenta a la hora de analizar las subidas de precio. Por ejemplo, en el caso de la burbuja inmobiliaria, si hubiésemos analizado lo que supone tener subidas sostenidas de precio del 12% anual durante quince años, veríamos que una vivienda que hubiese costado 90000 € en 1985, el año 2000 hubiera valido más de 400 mil euros, hoy costaría más de 2400000 (dos millones cuatrocientos mil) euros y dentro de quince años costaría más de trece millones. Absurdo, ¿verdad?.  Desgraciadamente a pesar de que era claro que las subidas sostenidas de precio eran insostenibles la gente seguía invirtiendo en vivienda porque, por una parte, era incapaz de diferenciar entre ambos tipos de progresiones y, por otra, porque estaban cegados por la codicia.

El corolario lógico nos llevaba a que en algún momento las subidas de precio tenían que ser próximas a cero, lo que haría que la gente no comprase vivienda para invertir (cese de la demanda) y debido a la inercia lógica del proceso de construcción de la vivienda, llegase un momento en que apareciese un stock de vivienda sin vender (aumento de la oferta), con la siguiente bajada de precios, lo que haría aumentar la oferta en un mercado sin demanda, con la siguiente bajada de precios... y el resto es ya historia.

Pero hoy voy a hablar de otro tipo de estafa que aparece siempre en época de crisis y que se ceba en los más débiles: los timos piramidales.

Los timos piramidales, o basados en esquemas de Ponzi, se basan en que los beneficios se obtienen por el dinero de nuevos inversionistas y no por la venta de ningún producto. Uno muy básico sería el siguiente. Te ofrecen vender por 20 € un lote de perfumes que a ti cuesta 10 €. Hasta ahí todo correcto (salvo por el detalle de que el lote de perfumes no vale ni  0,5 €). Peeeeeeeeeeero te dan otra opción mucho más atractiva: aportar dos nuevos vendedores cada uno de los cuales desembolsará 10 €, o sea 20 euros en total. De éstos, diez servirán para saldar tu deuda y los otros diez irán para la compañía, a fin de cubrir gastos y pagar comisiones. Con este sistema todo lo que obtengas por la venta de perfumes, o sea nada, será íntegro para ti y además se te apuntará al final de una lista de diez distribuidores. ¿Para qué sirve esta lista y cómo funciona? El funcionamiento es muy simple y, de nuevo, entra en juego la codicia. Según se vayan apuntando pardillos vendedores en la lista, ésta se va desdoblando, el primero de la lista sale de ella, llevándose cinco euros de comisión y todo el mundo sube un puesto. En la siguiente figura está explicado el procedimiento.
Esquema de Ponzi típico
La trampa está en que lo que tenemos es una progresión geométrica de razón dos. Si entras el último en una lista de primera generación, formada por los diez primeros integrantes, necesitarías 210 = 1024 pardillos para llegar a la cima. En ese momento estarías el primero de una serie de 1024 listas de segunda generación y el último en llegar a ellas necesitaría ahora 220 pardillos, casi un millón, para llegar a la cima. El último de esa lista de segundo generación necesitaría a su vez 230 pardillos, mil millones, para llegar a la cima y así sucesivamente. Ni que decir tiene que los únicos que se hacen ricos son los gerifaltes de la primera generación y todos los demás pierden sus diez euros.
Naturalmente este sistema conoce múltiples variantes, como por ejemplo: la venta de sellos (caso Forum Filatélico), oro (Emgoldex), de acciones e inversiones varias (Madoff) o arrendamiento de apartamentos (Sofico).

Este procedimiento se ha ido sofisticando hasta convertirse prácticamente en un alter ego de los sistemas de ventas multinivel (SVM). En este tipo de sistemas los vendedores son retribuidos no solo por las ventas que ellos mismos generan sino también por las ventas generadas por los vendedores que forman parte de su estructura organizativa. Hay que dejar claro que los sistemas multinivel, como Amway, NO son una estafa aunque los beneficios que te prometen luego rara vez se alcancen. De hecho aunque la legislación prohíba, entre otras cosas, expresamente que el beneficio económico de la organización y de los vendedores no se obtenga exclusivamente de la venta o servicio distribuido a los consumidores finales sino de la incorporación de nuevos vendedores, a causa del fomento a reclutar vendedores subordinados, hay quien opina que, en el mejor de los casos, los SVM modernos no son más que esquemas piramidales legalizados

¿Si tanto se parece un SVM a un fraude piramidal, cómo podemos diferenciarlos?  En primer lugar tenemos que tener claro que el beneficio que obtenemos se deba a la venta del producto y no a la incorporación de nuevos miembros. Cuánto más nos insistan en la incorporación de vendedores que dependan de nosotros, más cerca estaremos de un fraude piramidal.

No obstante ya que ha llegado hasta aquí creo que se merece conocer la regla de oro para diferenciar un SVM de un fraude piramidal. Si alguna vez asiste a una presentación de un SVM y oye decir al conferenciante:
- Tranquilos, que esto no es un fraude piramidal (o esquema de Ponzi)
puede entonces levantarse con total tranquilidad y abandonar la sala. Esté totalmente seguro que, aunque no sea capaz de verlo, ESTÁ ante un fraude piramidal. ¿O es que acaso alguna vez ha ido a comprar un coche y el vendedor le ha dicho: "Tranquilo, que esto que le voy a vender no es una vaca"?.

miércoles, 20 de mayo de 2015

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (y 7)

Como a todo, también a esta historia le llega su fin y me gustaría hacer una recopilación final  de todo lo visto en los post anteriores, más alguna que otra cosa que se me quedó en el tintero.

Según nos cuenta Boyer (1968) también en la antigua Babilonia había tablas que contenían las sucesivas potencias de un número dado, análogas a las actuales tablas de logaritmos, aunque estrictamente hablando sean de antilogaritmos, en las que encontramos las primeras diez potencias para las bases 9, 16, 1.40 y 3.45. También aparecen en tablillas problemas del tipo: "a que potencia hay que elevar un número para poder hallar un número dado" lo que se correspondería a la actual definición de logaritmo. Lenguaje y notación aparte, hay dos diferencias principales entre esas tablas y nuestros logaritmos. La más evidente es el amplio intervalo que hay entre los valores sucesivos, lo que llevaba a los matemáticos babilonios a tener que interpolar de forma lineal para obtener los valores intermedios y el segundo es que sus tablas no estaban diseñadas para la realización de cálculos, si no más bien para resolver problemas específicos, como por ejemplo uno que dice1: "cuando tiempo llevaría doblar una cantidad de dinero a un 20% de interés anual".

De los babilonios pasamos a los griegos y vemos que también en los enunciados de Euclides aparecen referencias a los exponentes y a Aristóteles quien vislumbró el procedimiento de convertir productos en sumas relacionando progresiones aritméticas y geométricas.

De un salto, pasamos de los romanos porque si bien como ingenieros eran unos fieras en matemáticas siempre flojearon, nos vamos a la Edad Media, al siglo XIV, donde Nicolle Oresme demuestra todas las reglas necesarias para trabajar con exponentes positivos. Cien años después N. Choquet agrega los exponentes negativos y el trabajo lo completa, en el siglo XVI, el alemán Michael Stifel empleando  exponentes fraccionarios.

Todo estaba dispuesto para que Bürgi y Napier de forma independiente desarrollaran el concepto del logaritmo a principios del siglo XVII. Como vimos en entradas anteriores, la definición de logaritmo de Napier es equivalente a\[N = {10^7}{\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^L}\]Un adecuado re-escalado de las variables N y L, dividiéndolas por 107, convierte la ecuación anterior en\[N' = {\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^{L'}} = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^{L'}}\]que en términos modernos se expresaría como:
L' es el logaritmo en base (1-1/107)7 de N'
Como el valor de esa base es prácticamente igual a 1/e, frecuentemente se le atribuya a Napier el descubrimiento del número e, aunque la realidad es que el concepto de base de logaritmo se desarrolló posteriormente al introducir los logaritmos comunes. La segunda edición de la traducción al inglés de su obra, por Edward Wright, trajo un bonus: un apéndice con tablas de logaritmos, algunos de cuyos valores se corresponden con el logaritmo que se obtendría usando la base 2.718, que se parece al número e, pero no se llegaba a mencionarlo de forma explícita.

La historia se completa con Euler, quien en 1705, los relacionó con la función exponencial y definió los logaritmos tal y como los conocemos actualmente.


Los logaritmos,  hasta el advenimiento de las calculadoras, han sido una herramienta imprescindible para poder realizar cálculos complejos pero si la pregunta que os hacéis es si a día de hoy, siguen dando juego, la verdad es que los logaritmos están más vivos que nunca. Hay fenómenos que presentan un amplio rango de variación entre sus valores máximo y mínimo y para los que una escala lineal no resulta adecuada. Por ejemplo el peso de los mamíferos varía entre los 3 gr de una musaraña y las 150 T de una ballena azul, lo que resultaría complicado de representar en una escala lineal, mientras que a escala logarítmica el rango de valores sería mucho más manejable ya que iría del -2,5 al 5,3.

Pero hay aún hay más: tanto el brillo con el que vemos las estrellas como la energía que se libera en un terremoto se miden con escalas logarítmicas. ¿Más ejemplos? El grado de acidez de una disolución, el nivel de ruido, la ley de enfriamiento de los cuerpos (que permite determinar la hora de la muerte) y en general cualquier proceso donde esté involucrada una función exponencial o una progresión geométrica como pueda ser la datación por elementos radioactivos (el célebre carbono-14), el crecimiento de poblaciones o el interés compuesto.

Fue precisamente el estudio de interés compuesto el que sacó a la luz a un nuevo número, del que ya hemos hablado someramente y que, por su importancia, se merece, al menos, una entrada propia: el número e, base además de los llamados logaritmos naturales o neperianos. ¿Que por qué se llaman así? Bueno, eso lo dejaremos para otro día.

Las tablas de logaritmos han sido ampliamente utilizadas desde el mismo momento de su invención por estudiantes, astrónomos, ingenieros y científicos de todo el mundo. Inclusive hubo quien en vez de mirar en las tablas miró a las tablas y descubrió que... Permitidme también que me lo guarde porque lo que descubrió da para otra historia.




Notas:
1 ¡Hala! Ya tenéis trabajo para el fin de semana. Eso sí hacerlo al modo babilonio usando una tabla de potencias de 1,2.

Bibliografía
Amy Shell-Gellasch (2010) Napier's e Mathematical Association of America. (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bourbaki N. (1976) Elementos de historia de las matemáticas. Alianza  Editorial.

Boyer, C. (1968) A History of Mathematics Wiley and sons. Nueva York (USA). (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bruce et al (2014) Euler : Some Papers. (Consultado 18 de mayo de 2015)



lunes, 11 de mayo de 2015

El progreso imparable. Soluciones.

Llegó el momento de dar las soluciones a los problemas que os planteé en esta otra entrada.

En el primero te proponían un intercambio. Yo te efectuaba diez mil pagos, siendo cada uno de ellos igual al anterior más 20 euros y, a cambio, tú me hacías doscientos pagos, siendo el primero de 1 euro y los demás un diez por ciento más que el anterior. Las dos secuencias de pagos serían:
Yo a tí: 10 €, 30 €, 50 €, 70 €, 90 €, ... , diez mil veces
Tú a mí: 1 €, 1.10 €, 1.21 €, 1.331 €, 1.4641 €, ... , doscientas veces
Para ayudarte a tomar una decisión, y que veas que no quiero aprovecharme de ti, voy a decirte lo que me tocaría pagarte. Si aplicas la fórmula de la anterior entrada:  \[Suma = \frac{{10 + 199990}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]o sea mil millones de euros, sí has leído bien, mil millones. Por mi parte, tendrían que pasar 25 pagos, para que me hicieras un pago de 10 euros, que fue tu pago inicial. Ahora, por favor, vuelve a pensar si te interesa el trato.

Si lo has aceptado, tengo una mala noticia: has hecho un pésimo negocio. Si aplicas la formula que te permite sumar los doscientos primeros términos de una progresión geométrica de razón 1,1:$$S = \frac{{ {1.1^{200}\times 1.1}-{1} }}{{1.1 - 1}}\approx 18,99\times 10^{9}$$O sea aproximadamente 19 veces la cantidad que yo te había pagado.

En el siguiente problema proponía hacer una una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas, repitiendo el proceso 64 veces. Tenemos una progresión aritmética de razón 100 y el número total de hojas sería: \[Suma = \frac{{100 + 64000}}{2}100 = 3205000\]Como el grosor de una hoja de papel viene a ser de una décima de milímetro la altura final sería de unos 320 m, que es el equivalente a un edificio de 90 plantas. En el segundo caso teníamos 64 hojas e íbamos dividiendo cada vez cada hoja el doble de veces que la vez anterior y apilando los trocitos de papel. Lo mejor de este problema es que, físicamente, es imposible hacerlo. Si hablamos de una hoja tamaño DIN A4, hacia la mitad del taco nuestros pedazos de hoja de papel tendrían el tamaño de un átomo de hidrógeno, y todos sabemos lo difícil que resulta partir un átomo de hidrógeno por la mitad, a menos que seas de Bilbao y tengas unas tijeras muy, pero que muy, afiladas. Aún en el supuesto de que hubiésemos podido seguir dividiendo las hojas, para colocar el último pedazo de la última hoja tendríamos que trasponer bastante más allá de los límites del Sistema solar, lo que te saldría, aún teniendo abono de transportes, por un pico.

El último problema era saber que había de verdad en leyenda del origen del juego del ajedrez. Para rellenar el tablero, el rey necesitaría 265 granos de arroz, que a un peso de 0,027 g por grano nos da una cantidad total de 9,92 x 1011 toneladas de arroz. Como la producción mundial prevista de arroz para el año 2015 es de 474,6 millones de toneladas, se necesitarían 2082 años de cosechas para poder recompensar al sabio.


¿Cuáles son los errores que cometemos cuando se nos presenta un problema de este tipo? Si nos fijamos en el primer ejemplo, mal razonamos pensando que, si hemos necesitado 25 pagos para llegar a 10 €, necesitaremos otros 25 pasos para llegar a 20, cuando la realidad es que los siguientes 25 pasos nos van a llevar a 100 €, los siguientes 25 a 1000 €, y así sucesivamente. Pero además es que tenemos tendencia a olvidar los pagos intermedios. Efectivamente el pago número 25 ha sido de 10 €, pero la suma de los pagos del 1 al 24 ha sido de 100 €, y el pago número 50 de 100 €, pero la suma de los anteriores asciende a 1100 €.

En resumen la aparente lentitud inicial con la que crecen las progresiones geométricas nos enmascaran su comportamiento tan traicionero, lo que nos va a llevar indefectiblemente al desastre.

A estas alturas seguro que te estarás preguntando para que te va a servir saber todo esto en tu día a día.

jueves, 7 de mayo de 2015

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa. (5)

Griegos, chinos, árabes, todos porfiando por medir el tamaño de la Tierra y a fuer de ser sinceros, ninguno de ellos más original que el otro. Pero siempre hay alguien que se busca las habichuelas para ser algo más original que los demás y así poder destacar sobre el resto.

El persa Al-Biruni, sin duda, debió de ser uno de esos tipos. Incasable viajero, hablaba fluídamente varios idiomas (al menos siete) y era una auténtica enciclopedia científica andante. En sus más de 180 trabajos, lamentablemente la mayor parte de ellos perdidos, tocaba, y además bien, todos los palos del conocimiento: desde la astronomía hasta la teología pasando por la historia y las matemáticas. No hay en todo Occidente alguien con quien pueda comparársele.

Conocedor de la historia de al-Mamun, que ya hemos contado en este blog, decidió repetir su experimento, pero ante la falta de fondos para realizarlo y las dificultades que entrañaba el hacerlo1 decidió que fueran sus neuronas y no sus pies los que recorrieran el camino. Este ingenioso método además de evitar que te llenes las babuchas de arena tiene la ventaja de que las distancias a medir sean más cortas y que no es necesario seguir la dirección del meridiano, lo que a priori le hace un método más exacto que los anteriores.

El procedimiento se basa en medir la altura2 del horizonte, θ, desde una montaña de altura conocida.

Oops... Creo recordar que nadie había dicho nada de medir la altura de una montaña.

Afortunadamente al-Biruni, desde su juventud, sabía cómo hacerlo: Desde dos puntos alineados con la cumbre de la montaña (véase la figura 1), cuya distancia entre ellos es conocida,
Figura 1. Determinación de la altura de una montaña
y, aproximadamente, a la misma altura se miden los ángulos cenitales a la cumbre, y mediante la sencilla relación trigonométrica:$$\Delta H = \frac{{\cot {L_{AC}}\;\cot {L_{BC}}}}{{\cot {L_{BC}} - \cot {L_{AC}}}}{d_{AB}}$$podemos determinar la altura de la montaña.

Ahora toca la segunda parte. Subimos a la cumbre de la montaña, y, como vemos en la figura 2, medimos la altura del horizonte, θ.
Figura 2. Determinación del radio terrestre.
Como el triángulo APO es rectángulo en P, aplicando el teorema del seno$$\frac{{R + H}}{{\sin 90}} = \frac{R}{{\sin \left( {90 - \theta } \right)}}$$se llega fácilmente a:$$R = \frac{{\cos \theta }}{{1 - \cos \theta }}\;H$$Los resultados que obtuvo con los datos que tomó en Nandana, (652,055 codos de altura y 0º34' de altura), determinó que el radio terrestre era de 12851369,845 codos. Como la medida del codo que usó al-Biruni era 493 mm nos iríamos a un radio terrestre igual a unos 6336 km.

Naturalmente este método no está exento de problemas. Desconocemos la instrumentación que utilizó, aunque como lo más probable fuese que usase un astrolabio, cuya precisión está limitada a un cuarto de grado, lo que influye en la exactitud de los resultados. Además la medición de la altura del horizonte desde lo alto de la cumbre de una montaña es mucho más fácil de decir que de hacer. De entrada la montaña de estar sobre una llanura, donde no existan otras elevaciones que le oculten el horizonte. Además se necesita una vista clara del horizonte, por lo que la atmósfera ha de estar limpia de polvo y completamente transparente, lo que en astronomía se conoce con un seeing I. Estas condiciones de transparencia atmosférica son las que se suelen tener después de una buena lluvia. Como el valor de θ es tan ajustado es de suponer que tuvo que armarse de paciencia y repetir en varias ocasiones sus medidas para poder promediar posteriormente. Como, según parece, tampoco tuvo en cuenta el efecto de la refracción atmosférica, es de suponer que sus resultados deberían estar afectados por algún tipo de error sistemático pero, sorprendentemente, no lo están. Lo que nos lleva a suponer que Biruni probó su método en diferentes escenarios y que se quedó con aquellos resultados que más se ajustaban al valor obtenido por al-Mamun. Naturalmente, y a falta de sus cuadernos de campo, todo esto no son más que suposiciones.

Pero, ¿saben lo mejor? Pues que esa no fue la única contribución de al-Biruni al campo de la geodesia.



Notas
1 "¿Quién va ayudarme en esta aventura?" - decía - "Se requiere un gran control sobre enormes extensiones de desierto, y hay que tener mucho cuidado con los peligros traicioneros que hay en él. Una vez elegí para este proyecto las localidades entre Dahistan, en las proximidades de Jurjan  y la tierra de los turcos, pero los resultados no fueron alentadores y entonces, quienes financiaron el proyecto, perdieron interés en él" (Gomez, 2010)

2 La altura es el ángulo complementario del ángulo cenital.



Fuentes
Spies, O. (1951) Al-Biruni Commemoration Volume A.H. 362—A.H. 1362. Iran Society, 159-B Dharamtala Street.
S. H. Barani, “Muslim Resear­ches in Geodesy,” in Al-Bīrūnī Commemoration Vol­ume, Calcutta, 1951, pp. 1-52.
J. H. Kramers, “Al-Bīrūnī’s Determin­ation of Geographical Longitude by Measuring the Distances,” in Al-Bīrūnī Commemorative Volume, Calcutta, 1951, pp. 177-83.
Al-Biruni. Un precursor de la ciencia moderna. Kalamo libros S. L. (consultado 5 de mayo de 2015).
Berggren, (1982) “Al-Bīrūnī on Plane Maps of the Sphere,” JHAS 6, pp. 47-95
Butterfield, A (1906) A history of the determination of the figure of the earth from arc measurements. Davis Press. Worcester, Mass.
Gomez, A. G. (2010) Biruni's Measurement of the Earth. (consultado 5 de mayo de 2015).
Mercier, R. P., (1994) ‘Geodesy,’ The History of Cartography, ed. by J. B. Harley and D. Woodward, Chicago and London, University of Chicago Press, Vol. 2, Book 1
O'Connor, J. J. and Robertson E. F. Al Biruni Biography. McTutor History of Mathematics Archive. Univ. of St. Andrews. (consultado 5 de mayo de 2015).
Pingree, D. BĪRŪNĪ, ABŪ RAYḤĀN iv. Geography. Encyclopaedia Iranica. Vol. IV, Fasc. 3, pp. 279-281Sparavigna, A.C. (2014). Al-Biruni and the Mathematical Geography. PHILICA.COM Article number 443.
Sparavigna, A.C. (2014). The Ten Spheres of Al-Farabi: A Medieval Cosmology, International Journal of Sciences, vol.3 n.6, pp.34-39
Stone, M. H (2014), The Cubit: A History and Measurement Commentary

sábado, 25 de abril de 2015

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (6)

La historia, poco a poco, va llegando su fin. Hemos estado en la velada entre Lord Napier y Henry Briggs, visto como Briggs realizó la primera tabla, y entre medias hemos hablado de su necesidad y de cómo Napier llegó a ellos.

A lo largo de esta historia cualquiera lector que esté mediante enterado del tema habrá sido consciente de que Neper y Briggs lo que hicieron fue desarrollar lo que conocemos como logaritmos decimales, o logaritmos en base 10, y no los logaritmos neperianos, o logaritmos en base e. Si no fue Neper, ¿quién inventó entonces los logaritmos neperianos?

Dada la importancia del tema, no es de extrañar de que Napier no fuese el único interesado en el tema de buscar un sistema que permitiese la simplificación de complejos cálculos matemáticos. Uno de ellos fue contemporáneo de Napier y provenía de la tierra de los chocolates, los bancos y los relojes. Naturalmente era relojero y su nombre era Jobst Bürgi (1552-1632).

Hay quien afirma que Bürgi inventó los logaritmos allá por 1586, pero la realidad es que no publicó sus Arithmetische und geometrische Progress Tabulen hasta 1620, en una época bastante convulsa de la historia de Europa. En 1618 se había producido la conocida Defenestración de Praga1 que dio origen a la Guerra de los Treinta Años y el 8 de noviembre de ese mismo año, tras la batalla de la Montaña Blanca, las tropas imperiales entraban en Praga. Si a eso le sumamos el celo con que Bürgi guardaba sus descubrimientos, no es de extrañar que sus tablas permaneciesen desconocidas al gran público, lo que le hizo merecer el reproche de Kepler quien le acusó de "haber desamparado al hijo de su espíritu en vez de educarlo para la posteridad". Un punto a favor de Bürgi fue darse cuenta de que las propiedades de los logaritmos eran independientes de su base y que podrían aplicarse a cualquier progresión geométrica. Siendo evidente que a menor razón de la progresión, mayor facilidad a la hora de efectuar los cálculos, él tomo como base de sus logaritmos al número 1,0001.
Portada del libro de Bürgi Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen. Obsérvese que contiene un error tipográfico en la entrada para 5000 (que no figura en la tabla). El valor que figura es 105126407 siendo el correcto 105126847.
Para calcular sus logaritmos Bürgi tiene que ir calculando sucesivamente las potencias de 1,0001. Inclusive sin calculadora es fácil ir calculando estas potencias, pues, como vemos en la siguiente tabla4, en ellas van a ir apareciendo los números combinatorios:\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}m\\n\end{array}} \right)\]

n 1,0001n
1 1,000100000000000000000000000000000000
2 1,000200010000000000000000000000000000
3 1,000300030001000000000000000000000000
4 1,000400060004000100000000000000000000
5 1,000500100010000500010000000000000000
6 1,000600150020001500060001000000000000
7 1,000700210035003500210007000100000000
8 1,000800280056007000560028000800010000
9 1,000900360084012601260084003600090001

Bürgi fue escribiendo las sucesivas potencias en forma de una tabla de doble entrada de 50 filas por ocho columnas. En el encabezado de las filas aparece el exponente n, esto es el logaritmo, aumentando su valor de uno en uno, mientras que en la cabecera de la columna, n aumenta de 50 en 50. Como en los dos casos se omite el punto decimal la primera impresión es que en las filas el exponente aumenta de 10 en 10 y en las columnas de 500 en 500. Lo más característico de esta tabla es que Bürgi imprime los exponentes (logaritmos) en color rojo2.
Cálculo de a113 = 1,0001113 = 101136352. En notación moderna escribiríamos:
 log1,0001 113 = 1,001136352
La intersección de la columna y de la fila nos da la correspondiente potencia:$${a_n} = {1.0001^n}$$ En este caso el valor resultante se imprime en color negro3. Como en aquella época se procuraba evitar el uso de números decimales, Bürgi multiplica todas las potencias por 108.

Dado que en la actualidad la entrada se obtiene combinando los valores de los encabezados de la columna y de la fila y el valor de la función tabulada está en la intersección de esos dos valores, se suele decir que la tabla de Bürgi es, en realidad, una tabla de antilogaritmos o de una función exponencial.

La base para los cálculos de Bürgi es el número B = 1,0001 y la entrada an es la n-ésima potencia de B, por lo tanto tenemos que a0 = 1. Por otra parte a Bürgi le parecía lógico que la tabla debía terminar en aquel valor de N que hiciese$${a_N} = 1\;000\;000\;000.$$Dicho valor, al que llamó die ganze Rote Zahl (el número rojo entero), resultó ser $$N = 23027.0022$$y a su correspondiente antilogaritmo:$$a_{230270.022}=1.0001^{23027.0022}= 1\;000\;000\;000,$$lo llamó die ganze Schwarze Zahl (el número negro entero).

En resumen la tabla presenta los logaritmos (exponentes) desde:$$0.0 \le n \le 23027.0$$y sus correspondientes antilogaritmos (potencias):$$1.0 \times 10^8 \le {a_n}=1.0001^n< 10.0 \times 10^8$$La portada del libro tiene mucha más miga de lo que parece a primera vista. En ella aparecen enumerados los logaritmos (en rojo) de 500 en 500 (recordemos que el punto decimal no aparece) y sus correspondientes antilogaritmos en negro, iniciándose en el 500(0) y finalizando en el número rojo entero 23027(0).
Ampliación de la portada
La disposición de las entradas en forma circular es una muestra de la genialidad de Bürgi, pues muestra su idea de que la próxima década, por ejemplo, [10, 100) es una mera repetición de tamaño 10 veces mayor de la actual, por ejemplo, [1, 10). Sin saberlo, Bürgi se anticipó a la conocida fórmula de Euler:\[{e^{ix}} = \cos x + i\sin x,\] que relaciona las funciones trigonométricas y la exponencial.


Como se utiliza la tabla de Bürgi

La utilización de las tablas de Bürgi no es sencilla. De hecho el autor prometió publicar un libro de instrucciones que, hasta donde sabemos, nunca vio la luz. Para ver como se utiliza vamos a seguir el ejemplo descrito en Waldvogel (2012)6:
Calcular c = 6,35923131 elevado a la quinta.
Comenzaríamos buscando en los números de negro dicho valor:$$n = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {6.35923131} \right)$$El número rojo buscado resulta ser$$n=18500.0$$
Busca las erratas evidentes en la tabla
Para hallar la quinta potencia, basta multiplicar el número rojo por cinco:$$\begin{array}{l} 5\;n = 5\;{\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {6.35923131} \right) = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{c}^5}} \right)\\ 5\;n = 95200.0 \end{array}$$Tenemos el problema de que los logaritmos solo llegan hasta el valor 23027,0022, por lo tanto para mantenerlo dentro del rango adecuado, habrá que escalar nuestro resultado dentro del rango de la tabla. Si multiplicamos el número rojo completo por 4, obtendríamos el valor$$\begin{array}{l} N = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {10.0} \right) = {\rm{23027}}{\rm{,0022}}\\ 4N = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{10.0}^4}} \right) = {\rm{92108}}{\rm{.0088}} \end{array}$$que es mayor que nuestro 5n, por lo que ya estaríamos dentro de la tabla. Tendríamos entonces que:$$\begin{array}{c}{\rm{5n}} - {\rm{4N}} = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{c}^5}} \right) - {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{10.0}^4}} \right)\\= {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {\frac{{{{c}^5}}}{{{{10.0}^4}}}} \right) = 391.9912 \approx 392 \end{array}$$ Solo nos queda calcular 1.0001392. Para ello tenemos que buscar en la columna correspondiente a 3500 y en la fila 420.
Una vez más se verifica la ley de Murphy: Falta un dígito
Aquí es donde aparece nuestro amigo Murphy, pues en el valor que necesitamos nos falta un dígito:$$ a_{392}=10399\;\;642$$Llegados a este punto solo nos quedan dos opciones: o nos basamos en como se construye la tabla de Bürgi:$${a_{n+1}} = {a_{n}} + \frac{{{a_{n}}}}{{10000}}$$ o bien nos damos un toque de modernidad y tiramos del Mathematica.

Una vez resuelto este pequeño problema, podemos afirmar que el valor que debería aparecer en la tabla es$$103997642$$que al dividirlo por 108 y deshacer el escalado multiplicando por 104, nos como resultado$$10399.7642$$frente al valor real$$10399.7550732144655...$$Naturalmente podríamos afinar el resultado si en vez de aproximar 391.9912 por 392 nos hubiéramos tomado la molestia de interpolar entre a391 y a392. En ese caso ni siquiera hubiera sido necesario calcular el valor de a392:
rojo negro
391,0000 $${a_{391}}$$
391,9912 $$\frac{{{c^5}}}{{{{10}^4}}}$$
392,0000 $${a_{391}} + \frac{{{a_{391}}}}{{10000}}$$

Interpolando tendríamos:$$\frac{{{c^5}}}{{{{10}^4}}} = {a_{391}} + 0.9912\frac{{{a_{391}}}}{{10000}} = 103997551$$Obteniendo en este caso el resultado exacto:$$c^5=10399.7551$$

Napier y Bürgi frente a frente.

Tanto Bürgi como Napier tenían como principal objetivo la simplificación de la operaciones de división y multiplicación. Para conseguir este proposito tanto la elección de la base (Bürgi; 1,0001 y Napier 0,3678794228 ≈ e-1) como la forma de presentar la tablas, (Bürgi a incrementos regulares de los logaritmos y tabulación de la función exponencial, Napier a incrementos regulares de los números y tabulación de la función logarítmica) son irrelevantes.

A favor de Bürgi está el hecho de que el que algoritmo que utiliza es más simple y evidente y que consigue idénticos resultados con menos esfuerzos. En contra, como ya dijimos, su negativa a divulgar su descubrimiento.

Por último, desde un punto de vista formal Bürgi llega a sus logaritmos mediante al álgebra, mientras que Napier se apoya en la geometría.

En cualquier caso estamos ante uno de esos casos en la que dos científicos, de forma independiente y saber nada el uno del otro llegan a desarrollar el mismo descubrimiento. Parece por lo tanto justo considerar a ambos descubridores simultáneos de los logaritmos.

Aún así, y al igual que le pasó a Colón, es Napier quien se lleva el mérito, lo que demuestra la importancia de la publicidad. Por eso como homenaje el matemático francés Lacroix decidió bautizar a los logaritmos cuya base es el, siempre imitado pero nunca igualado, número e con su nombre y de ahí el logaritmo neperiano, si bien también esos logaritmos son conocidos como logaritmos naturales, lo que da para otra historia.

Notas
1 Para ser precisos la tercera defenestración. Por lo visto los praguenses tienen como deporte local arrojar por una ventana a todo aquel que les cae gordo.
2 Por eso Bürgi llamó a sus logaritmos Die Rote Zahl (los números rojos).
3 Die Schwarze Zahl,  (los números negros).
4 Los más frikis que traten de demostralo. Se hace fácil si usamos el binomio de Newton, pero en ningún caso se os ocurra hacerlo con la Excel.
5 ¿Algún voluntario se anima a calcular a qué exponente hay que elevar 1,0001 para obtener 2?.
6 Una de las razones por las que he utilizado dicho ejemplo es porque en esa misma página la tabla contiene dos errores tipográficos.

Bibliografía:

Fernández, J. Mª.; Barragán, J. M. y Molina, A. El número e. Una breve idea de cómo se inventaron los logaritmos 
Lefort Historia de los logaritmos
Waldvogel (2012) Jost Bürgi and the discovery of the logarithms. Seminar für Angewandte Mathematik Eidgenössische Technische Hochschule CH-8092 Zürich. Suiza
Bürgi, Jost. Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen.

jueves, 9 de abril de 2015

El progreso imparable de burbujas, progresiones y otras historias

De acuerdo con la sociedad de tasaciones el incremento anual promedio del precio de la vivienda en España de 1996 a 2007 fue del 12%. Eso quiere decir que alguien que comprase una vivienda de 90 m2 en 1996 por 90000 €, en el 2007 podría venderla por 250000 €, obteniendo unos beneficios de 160000 €. Con semejante rentabilidad no es de extrañar que la gente se volviera loca comprando y comprando vivienda, sin importarle el precio al fin y al cabo ¿quién le hace ascos a ganar, a ese ritmo, en cinco años unos 80000 €? Por si fuera poco ni siquiera es necesario hacer todo el desembolso: una entrada, cómodos plazos durante cinco años, se vende la casa y 80000 euracos de beneficio en menos de un pis pas. Con lo obtenido repito la jugada con dos pisos y ahora ya son 160000 €. ¿Soy o no soy un genio?.

Pues no chaval, no lo eres.

La gasolina de todas las burbujas económicas, ya sean tulipanes, las punto com o la vivienda, es la codicia y su motor es no saber distinguir entre una progresión aritmética y una geométrica.

En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más una cantidad dada, denominada razón:$$a_{k+1} = a_k + r$$Así, por ejemplo, $$10, 30, 50, 70, 90, 110, ...$$es una progresión aritmética cuyo primer término es 10, y cuya razón es 20.

Calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética es sencillo. Basta fijarse que la suma del primero más el último es igual a la suma del segundo más el penúltimo:$$a_2 = a_1 + r\\a_{n} = a_{n-1} + r$$Restando a miembro a miembro$$a_2 - a_{n}= a_1 - a_{n-1}$$y reordenando:$$a_1 + a_{n}= a_2 + a_{n-1}$$De manera que la suma de n términos de una progresión aritmética es:\[S = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2}n\]Por ejemplo, la suma de los diez mil primeros términos de la progresión anterior es:\[Suma = \frac{{10 + 9999 \times 20 + 10}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]
La progresión geométrica se le parece pero no es lo mismo. En una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicada por una cantidad dada, también denominada razón:$$a_{k+1} = r \times a_k$$Así, por ejemplo, $$1; 1.1; 1.21; 1.331; 1.4641; 1.61051; ...$$es una progresión aritmética cuyo primer término es 1, y cuya razón es 1.1.

Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica también es sencillo. Basta escribir\[\begin{array}{l} S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\\ r\;S = r\;{a_1} + r\;{a_2} + ... + r\;{a_n} \end{array}\]restar miembro a miembro, tener en cuenta la definición de progresión geométrica:\[\left({1 - r} \right)S = {a_1} - r\;{a_n}\]y despejar:$$S = \frac{{{a_1} - r\;{a_n}}}{{1 - r}}$$
Ahora veamos algunos casos prácticos que nos permitan comparar las progresiones aritméticas y las geométricas. Comenzaremos con una pequeña apuesta. Por cada término de la progresión aritmética anterior, del uno al diez mil, te pago diez euros; y tú por cada término de la progresión geométrica del uno al doscientos, me pagas un euro. ¿Aceptas?

Hago una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas. Si repito el proceso 64 veces, ¿cuál será la altura final de la pila de hojas?

Cojo una hoja de papel, la divido en dos mitades y las pongo encima de la primera. A continuación cojo otra hoja de papel, la divido en cuatro partes y las pongo encima de las anteriores. Si repito el proceso 64 veces, dividiendo cada vez la hoja el doble de veces que la vez anterior ¿cuál será la altura final de la pila de hojas?.

Antes de ver las soluciones de estos enigmas no está de más recordar que la hijoputez de las progresiones geométricas es conocida desde antiguo. Todos conocemos la historia del rey que quiso recompensar al inventor del ajedrez por aliviarle de sus largas horas de tedio con oro y joyas y que el sabio rechazó y tan solo pidió que en el primer cuadrado de un tablero de ajedrez pusiese un grano de arroz, el segundo dos, en tercero cuatro, doblando la cantidad en cada cuadrado hasta completar todo el tablero. Los cortesanos y el sultán celebraron con alborozo la petición del sabio, hasta que comprobaron con horror que no había arroz en todo el reino para satisfacer su demanda. La pregunta es que hay de verdad en la leyenda.

Las soluciones en la próxima entrada...

jueves, 12 de marzo de 2015

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (5)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs, vimos del porqué de la necesidad de los logaritmos, sabemos como llegó Napier a ellos y como se podían calcular. De manera que, piano piano, hemos ido viendo toda la historia que hay detrás de los logaritmos.

Al igual que al zorro le gusta ir ocultado su rastro hay matemáticos, como Gauss, que consideran que
“La obra por sí debe ser completa, sencilla y convincente, sin que pueda encontrarse signo alguno que indique el trabajo que ha costado lograrla... Una catedral no está terminada hasta que ha desaparecido de la vista el último de sus andamios” 
Por fortuna, Neper no era de esos y sabemos como se fue puliendo la idea de logaritmo. Recordemos que las tablas de Neper la formaban los logaritmos de los senos1 y que para evitar trabajar con fracciones se fijaba el valor$$\sin{}90º = 10^8$$.
Tabla de los logaritmos de Neper (Neper, 1620)

La tabla que vemos en la figura anterior muestra como Neper dispuso los ángulos (columna 1) y sus complementarios (columna 7) a intervalos de un minuto en las columnas de los extremos, a su lado los senos (columnas 2 y 6) y a continuación los correspondientes logaritmos (columnas 3 y 5). De esta manera vamos a tener también los logaritmos de los cosenos, como cosenos de ángulos complementarios. Entre medias (columna 4) una columna (Differentia) con el logaritmo del seno menos el logaritmo del seno de ángulo complementario (columna 3 menos columna 5) que nos permite calcular los logaritmos de las tangentes.

Parecía que ya estaba todo hecho, pero había unos peros...

La definición formal que da Napier para el logaritmo L de un número N es:$$N = {10^7}{\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^L},$$que lo escribiremos de la forma$${\mathop{\rm NapLog}\nolimits} \left( {N} \right)=L$$tiene la deseada propiedad de transformar un producto en una suma$${\mathop{\rm NapLog}\nolimits} \left( {{{10}^{ - 7}}{N_1}\;{N_2}} \right) = {\mathop{\rm NapLog}\nolimits} \left( {{N_1}} \right) + {\mathop{\rm NapLog}\nolimits} \left( {{N_2}} \right)$$aunque, eso sí, de una forma bastante engorrosa. Para escribir en notación moderna la ecuación despejaríamos L tomando logaritmos en la base apropiada:$${\log_{1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}}}\left( {\frac{N}{{{{10}^7}}}} \right),$$lo que pone de manifiesto que la base utilizada originalmente por Napier era$${\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^{{{10}^7}}} \approx {e^{ - 1}}$$Tanto Briggs como el propio Neper fueron conscientes de este hecho y de las dificultades que conllevaba, por lo que de forma casi simultánea optaron por considerar al 10 como base de los logaritmos y suponer que:$$\begin{array}{c} log\left( 1 \right) = 0\\ log\left( {10} \right) = 1 \end{array}$$Lamentablemente Neper se encontraba ya sin fuerzas para la tarea de volver a recalcular su tabla, de manera que fue Briggs quien lo hizo y en 1617, el mismo año de la muerte de Neper, publicó Logarithmorum Chilias prima, la primera tabla de logaritmos de ocho cifras hasta el número mil. Siete años después llegaba Arithmetica Logarithmica, que contenía tablas de logaritmos de 14 cifras para los números del 1 al 20000 y del 90000 al 100000.

¿Cómo lo hizo?

Recordad que hablamos de una época en la que no había calculadoras de hecho ni siquiera había lápices por lo que todos los cálculos tenían que hacerse a mano escribiendo con pluma de ganso. Tampoco se había desarrollado el concepto de desarrollo en serie de una función, de manera que para poder calcular los logaritmos de forma eficiente, tenía que basarse en una regla que ya comentamos anteriormente:
Si {an} es una progresión geométrica y {bn} es una progresión aritmética lo estando ambas relacionadas por bn = log(an) entonces $$\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}=\log{\sqrt {a_{n-1} \times a_{n+1}}}$$
De manera que para calcular, por ejemplo, el logaritmo de 2 habría que hallar la media geométrica entre 1 y 10 (1,7783...) y asignarle como logaritmo la media aritmética entre 0 y 1 (0,5). Luego se repite el proceso con 1,7783... y 10 (2,3714...) y 0,5 y 1 (0,25) y así sucesivamente hasta que hubiese llegado a un número próximo a 2. Por ejemplo para obtener una precisión de 4 decimales tendría que haber hecho 12 iteraciones, mientras que si hubiese querido ir a ocho decimales tendría el número de iteraciones hubiese sido 27.
iteración n log n
1 3,1623 0,500000
2 1,7783 0,250000
3 2,3714 0,375000
4 2,0535 0,312500
5 1,9110 0,281250
6 1,9810 0,296875
7 2,0169 0,304688
8 1,9989 0,300781
9 2,0079 0,302734
10 2,0034 0,301758
11 2,0011 0,301270
12 2,0000 0,301025

Ni más ni menos eso fue lo que hizo Briggs: en primer lugar obtuvo 54 raíces cuadradas sucesivas de 10, o sea $$\sqrt[{18\;014\;398\;509\;481\;984\;\;}]{{10}},$$con una precisión de 32 decimales que llegó a ser de 40 para los últimos valores, y las puso en correspondencia con las sucesivas mitades de la unidad
Tabla de las raíces cuadradas n-simas de 10 (Briggs, 1624)

Esto es, calculó los logaritmos de 2n√10 para n = 1, 2, ..., 54. Solo se detuvo cuando comprobó que la parte decimal de la raíz era la mitad de la parte decimal de la raíz anterior. Al comparar estos valores con los valores de 2-n observó que si x = 1 + r, entonces log x ≈ α r; siendo α un factor de proporcionalidad que calculó utilizando la última pareja de valores obtenidos:$$\alpha \approx \frac{{\log \left( {1 + r} \right)}}{r}\\\alpha \approx \frac{{{2^{ - 54}}}}{{\sqrt[{{2^{54}}}]{{10}} - 1}}\\\alpha \approx \frac{{{\rm{5}}{\rm{,5511151231257827021181583}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 17}}}}{{{\rm{1}}{\rm{,27819149320032344165000000}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 15}}}}$$
$$ \;\;\;\alpha \approx 0,434294481903251804\;\;\;$$

Otra de las armas de Briggs eran las propiedades de los logaritmos, que las expuso en el capítulo 2:
\[\begin{array}{c} \log \left( {a \times b} \right) = \log a + \log b\\ \log \frac{a}{b} = \log a - \log b \end{array}\] y por si fuera poco disponía de una herramienta adicional poco común y tremendamente eficaz: su ingenio. Como todos hemos comprobado alguna vez, eso sí, con ayuda de la calculadora, la extracción sucesiva de raíces cuadradas de cualquier número nos lleva, sí o sí, a un número próximo a uno, de manera que tenemos$$\left. \begin{array}{l} \sqrt[{{2^n}}]{x} = 1 + r\\ \log \left( {1 + r} \right) = \alpha \;r \end{array} \right\} \Rightarrow \log x \approx {2^n}\alpha r$$De manera que el cálculo del logaritmo decimal de cualquier número se reducía a la extracción sucesiva de las raíces cuadradas. Eso le permitió tomar una serie de atajos en el cálculo de los logaritmos. Por ejemplo, en vez de calcular el logaritmo de 2, calculó el logaritmo de 1024. Al fin y al cabo:$$2^{10}=1024\\\log 2^{10}=\log 1024\\10\log 2=\log (1,024 \times 1000)\\10\log 2=3+\log 1,024$$De donde:$$\log 2=(3+\log 1,024)/10$$Extrajo la raíz de 1,024 cuarenta y siete veces (47) hasta que consideró que podía aproximar log(1 + r) por α r. El resultado que obtuvo fue:$$\sqrt[{2^{47}}]{{1,024}} = {1,00000\;00000\;00000\;16851\;60570\;53949\;77} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{Briggs}\;\;\;\\\sqrt[{2^{47}}]{{1,024}} = {1,00000\;00000\;00000\;16851\;60570\;53949\;76636\;06783} \; {Mathematica}$$y operando pudo Briggs obtener el logaritmo con una precisión de 19 cifras decimales. Si hubiese comenzado directamente con  el 2, se hubiese visto obligado a realizar 52 raíces cuadradas consecutivas, obteniendo un ahorro de cinco raíces cuadradas.

Para calcular el logaritmo de 3, realizó algo similar, ya que lo que hizo fue calcular el logaritmo de 6, y para ello tomó como valor de partida 69=10077696

Por si fuera poco, a base de realizar raíces, observó que se repetían determinado patrones lo que le llevó a desarrollar un ingenioso sistema que sustituía el cálculo de las raíces cuadradas por sumas y restas2, vislumbrando procedimientos propios de los actuales métodos numéricos.

Casi hemos terminado con los logaritmos decimales, que no neperianos, inventados por Neper y desarrollados por Briggs. La pregunta natural que nos surge ahora es, si Neper no inventó los logaritmos neperianos, ¿quién fue quien lo hizo?

Para terminar, y para los más frikis, dos programas muy básicos que en el Mathematica  permite calcular raíces cuadradas sucesivas y logaritmos decimales de cualquier número entre 1 y 10 por el método de Briggs.

raizNsima[x0_, n_] := Module[
  {t = x0},
   For[i = 0, i < n, i++, t = Sqrt[t]; Print[N[t, 40]]]
]

miLog[n_, prec_] := Module
[ {TOL = 10^(-prec), i, x0, x1, log0, log1, xNew, logOld, logNew},
  {i, x0, x1, log0, log1} = {1, 1, 10, 0, 1};
   xNew = Sqrt[x0 x1];
   logNew = (log0 + log1)/2;
   logOld = logNew + TOL + 1;
   While
       [Abs[logOld - logNew] > TOL,
        logOld = logNew;
        If
          [n < xNew,
          x1 = xNew;
          log1 = logNew,
          x0 = xNew;
          log0 = logNew];
         xNew = Sqrt[x0 x1];
         logNew = (log0 + log1)/2;
          i++];
  {i, N[xNew, 40], N[logNew, 40]}
]





1 y que tampoco la definición de seno que manejaba Neper es la que manejamos hoy
2 Tranquilos que no voy a desarrollarlo aquí.

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Bibliografía:
Logarithms: The Early History of a Familiar Function The Logarithms, Its Discovery and Development
Historia de los logaritmos, Navegando entre números.
David Orden (2013) Yo también viví engañado: El logaritmo neperiano no usaba la base e.
Ribnikov, K (1991) Historia de las matemáticas. Ed. MIR. Moscú
Napierian Logarithm
Briggs, H (1624) Arithmetica Logarithmica Versión traducida y comentada por Ian Bruce (2004)
Denis Roegel. A reconstruction of the tables of Briggs' Arithmetica logarithmica (1624). [Re- search Report] 2010.
Neper (1620) Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio.

sábado, 28 de febrero de 2015

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa. (4)

Si no sabes de que va esta copla, es altamente recomendable que sepas que los antiguos sabían que la Tierra era redonda, que los griegos fueron los primeros en tratar de medir su radio y que los chinos, listos como ellos solos, no solo lo midieron, si no que además se adelantaron en un siglo a los franceses en la búsqueda del metro.

Hoy nos toca hablar de una época en la que a los moros no se dedicaban al "bueno, bonito, barato".

La interpretación literal de los Libros Sagrados es el camino más directo hacia la esquizofrenia. Te dicen, "No matarás" (Éxodo 20:13) y en el siguiente capítulo, te dice bajo que condiciones no solo puedes, si no que debes, apiolar a tu prójimo. Si encima te dedicas a tomarlo como un libro de ciencia, entonces ya la cosa es de traca.

El califa Al-Mamun (786 – 833), debido a su tratado con Miguel III, se había hecho con una importante colección de libros de los antiguos filósofos griegos, que tras mandarlos traducir al árabe, los incluía en la biblioteca de su Casa de la sabiduría. Entre ellos estaba, por ejemplo una copia de la Sintaxis Matemática. Este libro cuyo título fue traducido al árabe como el Almagesto,"el más grande", se convirtió podríamos decir, en el libro de cabecera de los astrónomos musulmanes.

El que un gobernante se dedique a conseguir libros gracias a un tratado es algo que debería hacer reflexionar muy seriamente a los que hoy nos gobiernan

Gracias a esos libros Al Mamun era consciente de la esfericidad de la Tierra, de manera que al tener conocimiento de la medición de Erastótenes, relatada por Ptolomeo, preguntó a sus sabios acerca del significado del término isṭādanus [estadio griego]. Como no se ponían de acuerdo en lo que significado1, su lacónica respuesta fue:
"Esto no explica lo que queremos (saber)"
Así que ni corto ni perezoso decidió calcular el radio por su cuenta. Como no podía se otra, se encontró con la oposición de uno de los doctores religiosos más afamados de aquel tiempo, un tal Takyuddin, quien basándose en la sura (71:19) Allah os ha puesto la tierra extendida… aseguraba que la Tierra era plana y que Dios le castigaría de seguro, por difundir enseñanzas contrarias al Corán.

No sé lo que le diría Al Mamun al clérigo, pero supongo que un castizo lo traduciría libremente como un "siéntate aquí y pedalea", porque según nos cuenta El libro de las Curiosidades de las Ciencias y Maravillas para los ojos2 hacia el 830 ordenó a dos de sus astrónomos3. que buscarán la forma de medir el radio terrestre. Conocedores de la historia narrada por Ptolomeo localizaron dos ciudades Tadmur (Palmira) y ar-Raqqah (Raqqa) cuya diferencia de latitud es de un grado4.
La medición del radio terrestre en Oriente Medio
Al igual que Erastótenes, midieron la distancia entre las dos ciudades y encontraron que era de 66 2/3 millas terrestres. Multiplicando este número de millas por 360 (grados de la circunferencia de la Tierra) obtuvieron una circuenferencia terrestre de 24000 millas.

A partir de ahí los árabes razonaron como sigue:
La circunferencia de la parte habitada de la Tierra es la mitad (de esa cantidad). El diámetro de la Tierra es 7630 millas. En uno de los palacios de Tolomeo5 estaba grabado que la circunferencia de la Tierra es de 180000 estadios. Como el estadio tiene 400 codos y la milla tiene 3000 codos aprendemos que una milla tiene 7,5 estadios.
Pero la cosa no quedó ahí...

1 Naturalmente se encontraban con el mismo problema que nos encontramos hoy en día: desconocía el valor exacto el estadio que utilizó Erastóntes.

2 El libro de las Curiosidades de las Ciencias y Maravillas para los ojosKitāb Gharāʾib al-funūn wa-muaḥ al-uyūn, es una copia hecha, probablemente, en Egipto a finales del siglo XII, o principios del siglo XIII, de un compilación anónima en la primera mitad del siglo XI que recoge en sus páginas la ciencia, especialmente la astronomía y la cartografía, conocida en la época de los árabes. Sin ningún genero de dudas podría considerarse una auténtica Enciclopedia y una vez más nos pillan la vez a los europeos en casi 600 años.

3 El equipo estaba compuesto por a Khālid ibn ‛Abd [al-Malik] al-Marwarrūdhī,‛Alī ibn ‛Īsā al-Aṣṭurlābī, y Aḥmad ibn al-Buḥturī el agrimensor, junto con un grupo de agrimensores e ingenieros para controlar los instrumentos requeridos.

4 Las coordenadas de Palmira son 34°33′N 38°16 E y las de Raqqa 35°57′N 39°01′E

5 Los sabios musulmanes a veces confundían a Ptolomeo (305 a 282 a. C.) general de Alejandro Magno y fundador de la dinastía de los Ptolomeos con Claudio Ptolomeo (100 a 170 a. C.) geógrafo, matemático y astrónomo
.
Fuentes
Measurements of the Earth meridian before 1791
Sparavigna, A. (2014). Al-Biruni and the Mathematical GeographyPHILICA.COM Article number 443
Sevilla M; (2012). Introducción histórica a la Geodesia. Instituto de Astronomía y Geodesia. Facultad de Ciencias Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid
Mark H. Stone (2014), The Cubit: A History and Measurement Commentary

lunes, 16 de febrero de 2015

La jerga de los paper

Lo reconozco, soy una urraca. Para desesperación de mi mujer me gusta guardar de todo pensando que a lo mejor algún día lo necesito. Naturalmente ese día no llega nunca... hasta hoy.

Hace ya más de 20 años guarde un recorte de prensa de El País, que se titulaba una visión irónica de los artículos científicos. Hoy tras leer esto y, aprovechando que el recorte me había aparecido el otro día mientras buscaba otra cosa, he decido publicar la guía que figuraba en el artículo y que sirve para traducir el significado de las afirmaciones más habituales que se utilizan en los artículos científicos. Aunque la cosa es de hace ya más de 20 años sigue estando en vigor.

Espero que paséis un buen rato leyéndolo.




Cuando dicen: Quieren decir:
Se sabe desde hace tiempo No me he molestado en mirar la referencia original
... de gran importancia tanto teórica como práctica ... a mí me interesa
Aunque no ha sido posible dar una respuesta decisiva a estos interrogantes No es que  haya entendido gran cosa, pero voy a ver si cuela una publicación de todas maneras.
El compuesto de tungsteno y plomo fue escogido por ser idóneo para demostrar el efecto predicho Al tío del laboratorio de al lado le sobraba una muestra
Alta pureza, muy alta pureza, pureza extremadamente alta, superpuro, espectroscópicamente puro Composición desconocida excepto por las pretensiones exageradas del proveedor
Tres casos fueron escogidos para un posterior análisis detallado Los resultados en los demás casos no los entendía y los tiré a la basura
... fueron manejados con extremo cuidado durante los experimentos ... sólo se me despanzurró uno en el suelo
Los resultados típicos se muestran... Los mejores resultados se muestran
Aunque algo de detalle se pierde en la reproducción fotográfica… A partir del negativo es imposible decir...
Probablemente para periodos más largos… No tuve la paciencia de comprobarlo...
Estos resultados serán anunciados más tarde A ver si tengo la paciencia de trabajar algo más
Los valores más increíbles son los obtenidos por Fulanito Era uno de mis estudiantes
Se sugiere... Creo que
Parece ser que...
Es posible que...
Está claro que se requiere una labor adicional... Yo no lo entiendo
Correcto dentro de un orden de magnitud... Erróneo
Cabe esperar que este trabajo de lugar a otros en el mismo campo Este artículo no es muy bueno, pero tampoco lo son los demás en este asunto sin interés
Agradecemos a Fulano su asistencia en la realización de los experimentos y a Mengano sus interesantes comentarios. Fulano hizo el trabajo y Mengano nos explicó que significa.

miércoles, 28 de enero de 2015

Planeando por los mapas

Noche de Reyes... y una vez más mis pequeños tratando de descubrir dónde van a dejar sus SS. MM. de Oriente los regalos. Como el año pasado su plan no tuvo mucho éxito a la hora de descubrir a SS. MM. mientras ponían los juguetes, este año han diseñado un nuevo plan de ataque y para ello nada mejor que dibujar un nuevo plano:
Figura 1. El plano de la búsqueda de los juguetes

¿He dicho plano? ¿No debería haber dicho mapa?

¿Qué es un plano? ¿Qué es un mapa?

¿No son éstas dos de las mayores interrogantes a las que se ha enfrentado el hombre desde el inicio de los tiempos?

Vale quizás exagero un poquitín, pero si uno no se pone un poco en modo drama, no es feliz del todo.

Para empezar a aclarar las ideas conviene que repasemos el concepto de escala. La escala no es más que la relación que existe entre la medida hecha en un mapa y la medida realizada sobre el terreno. La escala, como vemos en la figura 1 puede ser gráfica, en la que la relación entre las distancias se muestra mediante un dibujo, o numérica, donde se representa la relación entre ambos valores en la forma $$E=\frac{distancia\,en\,el\,mapa}{distancia\,en\,el\,terreno}=\frac{1}{n}$$ siendo n un número entero. De manera que una escala $$E:\;1:50000$$ quiere decir que 1 cm en el terreno equivale a 50.000 cm = 500 m en el terreno. Cuanto menor es el valor de n mayor es el del cociente $$E:\;1:n$$ de manera que podríamos hablar de mapas a gran escala, mediana escala o pequeña escala. ¿Dónde están los límites?
Figura 2. Diferentes tipos de escalas gráficas y numéricas

La respuesta es... que no hay respuesta. No hay que buscar mucho en Internet para, como se ve en la tabla 1, ver que no hay un criterio fijo para poder hacer una clasificación de los mapas en función de la escala. ¿Por qué?

Fuente 1 2 3 4
Pequeña < 250.000 ≤ 250.000 < 500.000 < 100.000
Mediana 5.000 − 250.000 50.000 − 100.000 50.000 − 500.000 100.000 − 10.000
Grande > 50.000 25.000 − 10.000 5.000 − 50.000 > 10.000

1 Instituto Nacional de Estadística y Geografía (México)
2 Universidad de Granada (España)
3 Un Universo invisible bajo nuestros pies
4 Instituto Geográfico Nacional (España)

Tabla 1: Clasificación de los mapas, en función de su escala, de acuerdo a diversas fuentes.

La razón hay que encontrarla en el uso y las necesidades de aquellos que utilizan los mapas. El mapa, y por ende la escala, que necesita un biólogo para representar la ruta migratoria de las cigüeñas no es el mismo que el que necesita un artillero de campaña, un ingeniero civil o un arquitecto. Es más el nivel de detalle que pueda necesitar un arquitecto es diferente según esté diseñando una casa o un planeamiento urbano. La profesión y el uso diario que demos a los mapas es lo que en última instancia nos determina los límites para separar un mapa en función de su escala.

¿Y qué sucede si seguimos aumentando la escala? A mayor escala, mayor nivel de detalle, lo que resulta muy útil si queremos representas la situación exacta de elementos de pequeño tamaño, como por ejemplo una arqueta o una farola. Ahora bien las dimensiones de una hoja de papel A0 son 841 mm x 1189 mm por lo tanto lo máximo que vamos a poder representar a una escala 1:2000 es una distancia de 2000 m, y en ese rango de distancias podemos considerar que la Tierra es plana. ¿Por qué?
Figura 3. Relación entre la cuerda y el arco

La diferencia entre la cuerda, c, (Tierra plana) y el arco, s, (Tierra esférica) viene dada por la expresión:$$s-c=R\times{}(\frac{s}{R}-2\times{}\sin{\frac{s}{2\times{}R}}).$$Como el radio de la Tierra es 6400 km, para que dicha diferencia sea apreciable, digamos superior al milímetro, debemos de trabajar con distancias del orden de los diez kilómetros. En función de la escala (ver la tabla 2) esa distancia equivale, en cm, a:
escala 1:n
50.000 25.000 10.000 5.000 2.000 1000 500
20 40 100 200 500 1000 2000
Tabla 2: A qué equivalen 10 km sobre el papel (en cm) en función de la escala

Por ejemplo, a escala 1:2000 necesitaríamos una hoja de papel de 5 m de largo para poder trabajar en un rango de distancias donde la curvatura de la Tierra pudiese tener algún tipo de influencia.

A este tipo de mapas donde no se tiene en cuenta la esfericidad de Tierra se les denomina planos. Así pues un plano no es más que un tipo particular de mapas. El límite para hablar de mapa o plano también es difuso. Hay un consenso en aceptar que para escalas iguales o superiores a 1:2.000 hablamos de planos, y que para escalas inferiores a 1:10.000, tenemos mapas; pero entre medias hay una tierra de nadie donde la controversia está servida.
Figura 4.1 Plano de Benegiles (Zamora) de 1929 a escala 1:2000 sin georrefenciar


Hay además otras consideraciones a tener en cuenta. Cuando hablamos de mapas tenemos que ir más allá de la mera representación de una parte de la Tierra. A veces nos interesa representar algún tipo de fenómeno, por ejemplo la red de metro, en la que tanto nos da que la Tierra sea esférica o tenga forma de icosaedro, porque lo importante es mostrar la situación y la conexión que existe entre las distintas estaciones. En este caso es perfectamente correcto hablar de planos, con independencia a la escala a la que estén hecho, porque incluso la escala es irrelevante.
Figura 4. El plano del metro de Madrid.
Otro punto a tener el cuenta es el de la georreferenciación. Con este "palabro"  indico la necesidad de dar coordenadas absolutas, ya sean geográficas (latitud, longitud y altura) o planas (referidas estas últimas a una determinada proyección cartográfica). No hace tantos años el dar coordenadas absolutas era un auténtico trabajo de chinos. De manera que lo más habitual, si la obra era de pequeña extensión, era trabajar con coordenadas locales: el topógrafo asignaba a un punto unas coordenadas arbitrarias (1000, 2000, 500) y a partir de ahí se realizaba todo el trabajo. Pero los tiempos cambian y en eso han tenido mucho que ver la implantación de dos nuevas tecnologías: el GPS y los SIG.

Un SIG, o sistema de información geográfica, es un sistema que vincula información a una posición geográfica2. Naturalmente los SIG trabajan con coordenadas absolutas y el hecho de que a día de hoy cualquier tipo de mapa o plano, tenga como destino final un SIG, obliga a que éstos estén, sí o sí, georreferenciado; y aquí es donde entra en liza el GPS, o sistema de posicionamiento global, que nos permite obtener las coordenadas absolutas de un punto con precisión centimétrica en tan solo unos minutos.

De esta manera una de las distinciones que se solía hacer entre mapas y planos (los primeros tienen coordenadas, los segundos no) es a día de hoy del todo irrelevante.

De manera y por resumir brevemente:
  1. Los planos son un tipo particular de mapas donde no tomamos en cuenta la curvatura de la Tierra.
  2. Si el mapa está hecho a escala 1:2000 o superior es correcto hablar de planos.
  3. Si el mapa está hecho a escala 1:10000 o inferior NO es correcto hablar de planos.
  4. Si la escala está comprendida entre esos dos valores, haga lo que diga su jefe.
  5. A día de hoy lo habitual es que tanto planos como mapas están georreferenciados.




1 Los derechos de la imagen son del Centro Nacional de Información Geográfica.
2 Sé que ésta es una definición muy simplificada de lo que es y de lo que puede hacer un SIG, pero a efectos de ilustrar esta entrada creo que es suficiente.

miércoles, 21 de enero de 2015

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (4)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs, vimos del porqué de la necesidad de los logaritmos, sabemos como llegó Napier a ellos y hoy trataremos de ver como los calculó. Lo de probar su utilidad lo dejaremos para más adelante.

Vamos a retomar la historia justo donde la dejamos: en la definición que da Neper de logaritmo. Recordemos que hay dos puntos, uno moviéndose sobre el segmento αω, cuya longitud supondremos la unidad, a una velocidad decreciente, proporcional a la distancia que le resta hasta llegar a ω, y el otro moviéndose sobre la recta A a velocidad constante y que ambos salen al mismo tiempo y a la misma velocidad.


Para ver como Neper calculó sus tablas, que era en última instancia lo que Neper necesitaba y estaba buscando, dividió el segmento αω en 10.000.000 (diez millones) de partes recorrido en diez millones de instantes. Si en el primer momento la velocidad era igual a uno, tendríamos: $$\begin{gathered} \omega \;\gamma = 1 - \frac{1}{{{{10}^7}}} \\ \gamma \;\delta = \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) \\ \omega \;\delta = \omega \;\gamma - \gamma \;\delta = \left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) - \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^2} \\ \end{gathered}$$ De esta forma tenemos nuestras dos progresiones: una geométrica,
$$1 \;\;\;\; 1-\frac{1}{10^7} \;\;\;\; \left( 1-\frac{1}{10^7}\right) ^2 \;\;\;\; \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^3$$
y otra aritmética,
$$0 \;\;\;\; \frac{1}{10^7} \;\;\;\; \frac{2}{10^7} \;\;\;\; \frac{3}{10^7}$$
Pero... si lo hacemos así habría que trabajar con fracciones; lo que Neper solucionó tomando como longitud del segmento αω igual a 107 y no igual a uno, y además había que rellenar los huecos. Para hacerlo Neper se basó en:
Proposición 37 de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1620)
Aquí la traducción de la versión original:
De tres senos contiguos en proporción geométrica, así como el cuadrado del medio es igual al producto de los extremos, también los números artificiales1 del doble del medio es igual a la suma de los extremos. De esta manera conocidos dos de estos números artificiales, el tercero resulta conocido
Hoy en día lo que hizo Neper lo explicaríamos de esta manera:
Proposición 1. En una progresión geométrica el cuadrado del término medio de tres consecutivos es igual al producto de los extremos:
$${a_n}^2= a_{n-1} \; a_{n+1}$$
Proposición 2. En una progresión aritmética el término medio de tres consecutivos es igual a la media de los extremos
$$b_n=\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$$
Proposición 3. Si bn-1 = log(an-1) y bn+1 = log(an+1) entonces $$\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}=\log{\sqrt {a_{n-1} \times a_{n+1}}}$$
Con este artilugio, y otro similar, se pueden ir llenando los huecos restantes. Por ejemplo, supongamos que tenemos una progresión geométrica de la forma: $$1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 2^2 \;\;\;\; 2^3 \;...$$ y su correspondiente progresión aritmética: $$0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3 \; ...$$ de manera que $$ log(1) = 0 \\ log(2) = 1 \\ log(4) = 2 \\ log(8) = 3$$ Podemos hacer entonces:$$log(\sqrt{2 \times 4}) = log(2,82842712)\\log(\sqrt{2 \times 4}) = \frac{log(2) + log(4)}{2}=\frac{1 + 2}{2}=0,5$$y como por arte de birlibirloque rellenamos las progresiones geométrica y aritmética:$$1 \;\;\;\;  2 \;\;\;\; 2,82842712 \;\;\;\; 4 \;\;\;\; 8\;...\\ 0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0,5 \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3\;...$$De esta manera las tablas podrían rellenarse a base de ir haciendo raíces cuadradas, proceso que, aunque largo y tedioso, se podía hacer ayudado por el ábaco que desarrolló el propio Napier. Así el año en que murió Napier, 1617, ve la luz la obra de su buen amigo Henry Briggs, Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14 decimales. Sin duda uno de los libros más aburridos del mundo y, a la vez, uno de los más esperados.

Pero la historia aún no ha terminado... 


1 Napier a lo largo de todo el texto de su libro llama a los logaritmos, números artificiales.

Bibliografía:
Historia de los logaritmos. Tapia Moreno, F. J.
El quehacer matemático. un recorrido por la historia. PARTE II: LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XVII. Pérez Delgado, J. M.
Tatón et al (1988). Historia General de las ciencias. Edit Orbis, Barcelona.
Logarithms: The Early History of a Familiar Function
The Logarithms, Its Discovery and Development
Historia de los logaritmos, Navegando entre números.
Las funciones logarítmica y exponencial Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)
Ribnikov, K (1991) Historia de las matemáticas. Ed. MIR. Moscú