miércoles, 21 de enero de 2015

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (4)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs, vimos del porqué de la necesidad de los logaritmos, sabemos como llegó Napier a ellos y hoy trataremos de ver como los calculó. Lo de probar su utilidad lo dejaremos para más adelante.

Vamos a retomar la historia justo donde la dejamos: en la definición que da Neper de logaritmo. Recordemos que hay dos puntos, uno moviéndose sobre el segmento αω, cuya longitud supondremos la unidad, a una velocidad decreciente, proporcional a la distancia que le resta hasta llegar a ω, y el otro moviéndose sobre la recta A a velocidad constante y que ambos salen al mismo tiempo y a la misma velocidad.


Para ver como Neper calculó sus tablas, que era en última instancia lo que Neper necesitaba y estaba buscando, dividió el segmento αω en 10.000.000 (diez millones) de partes recorrido en diez millones de instantes. Si en el primer momento la velocidad era igual a uno, tendríamos: $$\begin{gathered} \omega \;\gamma = 1 - \frac{1}{{{{10}^7}}} \\ \gamma \;\delta = \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) \\ \omega \;\delta = \omega \;\gamma - \gamma \;\delta = \left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) - \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^2} \\ \end{gathered}$$ De esta forma tenemos nuestras dos progresiones: una geométrica,
$$1 \;\;\;\; 1-\frac{1}{10^7} \;\;\;\; \left( 1-\frac{1}{10^7}\right) ^2 \;\;\;\; \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^3$$
y otra aritmética,
$$0 \;\;\;\; \frac{1}{10^7} \;\;\;\; \frac{2}{10^7} \;\;\;\; \frac{3}{10^7}$$
Pero... si lo hacemos así habría que trabajar con fracciones; lo que Neper solucionó tomando como longitud del segmento αω igual a 107 y no igual a uno, y además había que rellenar los huecos. Para hacerlo Neper se basó en:
Proposición 37 de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1620)
Aquí la traducción de la versión original:
De tres senos contiguos en proporción geométrica, así como el cuadrado del medio es igual al producto de los extremos, también los números artificiales1 del doble del medio es igual a la suma de los extremos. De esta manera conocidos dos de estos números artificiales, el tercero resulta conocido
Hoy en día lo que hizo Neper lo explicaríamos de esta manera:
Proposición 1. En una progresión geométrica el cuadrado del término medio de tres consecutivos es igual al producto de los extremos:
$${a_n}^2= a_{n-1} \; a_{n+1}$$
Proposición 2. En una progresión aritmética el término medio de tres consecutivos es igual a la media de los extremos
$$b_n=\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$$
Proposición 3. Si bn-1 = log(an-1) y bn+1 = log(an+1) entonces $$\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}=\log{\sqrt {a_{n-1} \times a_{n+1}}}$$
Con este artilugio, y otro similar, se pueden ir llenando los huecos restantes. Por ejemplo, supongamos que tenemos una progresión geométrica de la forma: $$1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 2^2 \;\;\;\; 2^3 \;...$$ y su correspondiente progresión aritmética: $$0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3 \; ...$$ de manera que $$ log(1) = 0 \\ log(2) = 1 \\ log(4) = 2 \\ log(8) = 3$$ Podemos hacer entonces:$$log(\sqrt{2 \times 4}) = log(2,82842712)\\log(\sqrt{2 \times 4}) = \frac{log(2) + log(4)}{2}=\frac{1 + 2}{2}=0,5$$y como por arte de birlibirloque rellenamos las progresiones geométrica y aritmética:$$1 \;\;\;\;  2 \;\;\;\; 2,82842712 \;\;\;\; 4 \;\;\;\; 8\;...\\ 0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0,5 \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3\;...$$De esta manera las tablas podrían rellenarse a base de ir haciendo raíces cuadradas, proceso que, aunque largo y tedioso, se podía hacer ayudado por el ábaco que desarrolló el propio Napier. Así el año en que murió Napier, 1617, ve la luz la obra de su buen amigo Henry Briggs, Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14 decimales. Sin duda uno de los libros más aburridos del mundo y, a la vez, uno de los más esperados.

Pero la historia aún no ha terminado... 


1 Napier a lo largo de todo el texto de su libro llama a los logaritmos, números artificiales.

Bibliografía:
Historia de los logaritmos. Tapia Moreno, F. J.
El quehacer matemático. un recorrido por la historia. PARTE II: LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XVII. Pérez Delgado, J. M.
Tatón et al (1988). Historia General de las ciencias. Edit Orbis, Barcelona.
Logarithms: The Early History of a Familiar Function
The Logarithms, Its Discovery and Development
Historia de los logaritmos, Navegando entre números.
Las funciones logarítmica y exponencial Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)
Ribnikov, K (1991) Historia de las matemáticas. Ed. MIR. Moscú

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