Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa. (5)

Griegos, chinos, árabes, todos porfiando por medir el tamaño de la Tierra y a fuer de ser sinceros, ninguno de ellos más original que el otro. Pero siempre hay alguien que se busca las habichuelas para ser algo más original que los demás y así poder destacar sobre el resto.

El persa Al-Biruni, sin duda, debió de ser uno de esos tipos. Incasable viajero, hablaba fluídamente varios idiomas (al menos siete) y era una auténtica enciclopedia científica andante. En sus más de 180 trabajos, lamentablemente la mayor parte de ellos perdidos, tocaba, y además bien, todos los palos del conocimiento: desde la astronomía hasta la teología pasando por la historia y las matemáticas. No hay en todo Occidente alguien con quien pueda comparársele.

Conocedor de la historia de al-Mamun, que ya hemos contado en este blog, decidió repetir su experimento, pero ante la falta de fondos para realizarlo y las dificultades que entrañaba el hacerlo¹ decidió que fueran sus neuronas y no sus pies los que recorrieran el camino. Este ingenioso método además de evitar que te llenes las babuchas de arena tiene la ventaja de que las distancias a medir sean más cortas y que no es necesario seguir la dirección del meridiano, lo que a priori le hace un método más exacto que los anteriores.

El procedimiento se basa en medir la altura² del horizonte, θ, desde una montaña de altura conocida.

Oops... Creo recordar que nadie había dicho nada de medir la altura de una montaña.

Afortunadamente al-Biruni, desde su juventud, sabía cómo hacerlo: Desde dos puntos alineados con la cumbre de la montaña (véase la figura 1), cuya distancia entre ellos es conocida,

Figura 1. Determinación de la altura de una montaña

y, aproximadamente, a la misma altura se miden los ángulos cenitales a la cumbre, y mediante la sencilla relación trigonométrica:$$\Delta H = \frac{{\cot {L_{AC}}\;\cot {L_{BC}}}}{{\cot {L_{BC}} - \cot {L_{AC}}}}{d_{AB}}$$podemos determinar la altura de la montaña.

Ahora toca la segunda parte. Subimos a la cumbre de la montaña, y, como vemos en la figura 2, medimos la altura del horizonte, θ.

Figura 2. Determinación del radio terrestre.

Como el triángulo APO es rectángulo en P, aplicando el teorema del seno$$\frac{{R + H}}{{\sin 90}} = \frac{R}{{\sin \left( {90 - \theta } \right)}}$$se llega fácilmente a:$$R = \frac{{\cos \theta }}{{1 - \cos \theta }}\;H$$Los resultados que obtuvo con los datos que tomó en Nandana, (652,055 codos de altura y 0º34' de altura), determinó que el radio terrestre era de 12851369,845 codos. Como la medida del codo que usó al-Biruni era 493 mm nos iríamos a un radio terrestre igual a unos 6336 km.

Naturalmente este método no está exento de problemas. Desconocemos la instrumentación que utilizó, aunque como lo más probable fuese que usase un astrolabio, cuya precisión está limitada a un cuarto de grado, lo que influye en la exactitud de los resultados. Además la medición de la altura del horizonte desde lo alto de la cumbre de una montaña es mucho más fácil de decir que de hacer. De entrada la montaña de estar sobre una llanura, donde no existan otras elevaciones que le oculten el horizonte. Además se necesita una vista clara del horizonte, por lo que la atmósfera ha de estar limpia de polvo y completamente transparente, lo que en astronomía se conoce con un seeing I. Estas condiciones de transparencia atmosférica son las que se suelen tener después de una buena lluvia. Como el valor de θ es tan ajustado es de suponer que tuvo que armarse de paciencia y repetir en varias ocasiones sus medidas para poder promediar posteriormente. Como, según parece, tampoco tuvo en cuenta el efecto de la refracción atmosférica, es de suponer que sus resultados deberían estar afectados por algún tipo de error sistemático pero, sorprendentemente, no lo están. Lo que nos lleva a suponer que Biruni probó su método en diferentes escenarios y que se quedó con aquellos resultados que más se ajustaban al valor obtenido por al-Mamun. Naturalmente, y a falta de sus cuadernos de campo, todo esto no son más que suposiciones.

Pero, ¿saben lo mejor? Pues que esa no fue la única contribución de al-Biruni al campo de la geodesia.



Notas
¹ "¿Quién va ayudarme en esta aventura?" - decía - "Se requiere un gran control sobre enormes extensiones de desierto, y hay que tener mucho cuidado con los peligros traicioneros que hay en él. Una vez elegí para este proyecto las localidades entre Dahistan, en las proximidades de Jurjan  y la tierra de los turcos, pero los resultados no fueron alentadores y entonces, quienes financiaron el proyecto, perdieron interés en él" (Gomez, 2010)

² La altura es el ángulo complementario del ángulo cenital.



Fuentes
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S. H. Barani, “Muslim Resear­ches in Geodesy,” in Al-Bīrūnī Commemoration Vol­ume, Calcutta, 1951, pp. 1-52.
J. H. Kramers, “Al-Bīrūnī’s Determin­ation of Geographical Longitude by Measuring the Distances,” in Al-Bīrūnī Commemorative Volume, Calcutta, 1951, pp. 177-83.
Al-Biruni. Un precursor de la ciencia moderna. Kalamo libros S. L. (consultado 5 de mayo de 2015).
Berggren, (1982) “Al-Bīrūnī on Plane Maps of the Sphere,” JHAS 6, pp. 47-95
Butterfield, A (1906) A history of the determination of the figure of the earth from arc measurements. Davis Press. Worcester, Mass.
Gomez, A. G. (2010) Biruni's Measurement of the Earth. (consultado 5 de mayo de 2015).
Mercier, R. P., (1994) ‘Geodesy,’ The History of Cartography, ed. by J. B. Harley and D. Woodward, Chicago and London, University of Chicago Press, Vol. 2, Book 1
O'Connor, J. J. and Robertson E. F. Al Biruni Biography. McTutor History of Mathematics Archive. Univ. of St. Andrews. (consultado 5 de mayo de 2015).
Pingree, D. BĪRŪNĪ, ABŪ RAYḤĀN iv. Geography. Encyclopaedia Iranica. Vol. IV, Fasc. 3, pp. 279-281Sparavigna, A.C. (2014). Al-Biruni and the Mathematical Geography. PHILICA.COM Article number 443.
Sparavigna, A.C. (2014). The Ten Spheres of Al-Farabi: A Medieval Cosmology, International Journal of Sciences, vol.3 n.6, pp.34-39
Stone, M. H (2014), The Cubit: A History and Measurement Commentary