El progreso imparable. Soluciones.

Llegó el momento de dar las soluciones a los problemas que os planteé en esta otra entrada.

En el primero te proponían un intercambio. Yo te efectuaba diez mil pagos, siendo cada uno de ellos igual al anterior más 20 euros y, a cambio, tú me hacías doscientos pagos, siendo el primero de 1 euro y los demás un diez por ciento más que el anterior. Las dos secuencias de pagos serían:

Yo a tí: 10 €, 30 €, 50 €, 70 €, 90 €, ... , diez mil veces
Tú a mí: 1 €, 1.10 €, 1.21 €, 1.331 €, 1.4641 €, ... , doscientas veces

Para ayudarte a tomar una decisión, y que veas que no quiero aprovecharme de ti, voy a decirte lo que me tocaría pagarte. Si aplicas la fórmula de la anterior entrada:  \[Suma = \frac{{10 + 199990}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]o sea mil millones de euros, sí has leído bien, mil millones. Por mi parte, tendrían que pasar 25 pagos, para que me hicieras un pago de 10 euros, que fue tu pago inicial. Ahora, por favor, vuelve a pensar si te interesa el trato.

Si lo has aceptado, tengo una mala noticia: has hecho un pésimo negocio. Si aplicas la formula que te permite sumar los doscientos primeros términos de una progresión geométrica de razón 1,1:$$S = \frac{{ {1.1^{200}\times 1.1}-{1} }}{{1.1 - 1}}\approx 18,99\times 10^{9}$$O sea aproximadamente 19 veces la cantidad que yo te había pagado.

En el siguiente problema proponía hacer una una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas, repitiendo el proceso 64 veces. Tenemos una progresión aritmética de razón 100 y el número total de hojas sería: \[Suma = \frac{{100 + 64000}}{2}100 = 3205000\]Como el grosor de una hoja de papel viene a ser de una décima de milímetro la altura final sería de unos 320 m, que es el equivalente a un edificio de 90 plantas. En el segundo caso teníamos 64 hojas e íbamos dividiendo cada vez cada hoja el doble de veces que la vez anterior y apilando los trocitos de papel. Lo mejor de este problema es que, físicamente, es imposible hacerlo. Si hablamos de una hoja tamaño DIN A4, hacia la mitad del taco nuestros pedazos de hoja de papel tendrían el tamaño de un átomo de hidrógeno, y todos sabemos lo difícil que resulta partir un átomo de hidrógeno por la mitad, a menos que seas de Bilbao y tengas unas tijeras muy, pero que muy, afiladas. Aún en el supuesto de que hubiésemos podido seguir dividiendo las hojas, para colocar el último pedazo de la última hoja tendríamos que trasponer bastante más allá de los límites del Sistema solar, lo que te saldría, aún teniendo abono de transportes, por un pico.

El último problema era saber que había de verdad en leyenda del origen del juego del ajedrez. Para rellenar el tablero, el rey necesitaría 2⁶⁵ granos de arroz, que a un peso de 0,027 g por grano nos da una cantidad total de 9,92 x 10¹¹ toneladas de arroz. Como la producción mundial prevista de arroz para el año 2015 es de 474,6 millones de toneladas, se necesitarían 2082 años de cosechas para poder recompensar al sabio.


¿Cuáles son los errores que cometemos cuando se nos presenta un problema de este tipo? Si nos fijamos en el primer ejemplo, mal razonamos pensando que, si hemos necesitado 25 pagos para llegar a 10 €, necesitaremos otros 25 pasos para llegar a 20, cuando la realidad es que los siguientes 25 pasos nos van a llevar a 100 €, los siguientes 25 a 1000 €, y así sucesivamente. Pero además es que tenemos tendencia a olvidar los pagos intermedios. Efectivamente el pago número 25 ha sido de 10 €, pero la suma de los pagos del 1 al 24 ha sido de 100 €, y el pago número 50 de 100 €, pero la suma de los anteriores asciende a 1100 €.

En resumen la aparente lentitud inicial con la que crecen las progresiones geométricas nos enmascaran su comportamiento tan traicionero, lo que nos va a llevar indefectiblemente al desastre.

A estas alturas seguro que te estarás preguntando para que te va a servir saber todo esto en tu día a día.