¿Qué hace una progresión geométrica en nuestra vida? Ventas multinivel y fraudes piramidales.

Espero que gracias a las soluciones publicadas haya quedado claro que es necesario saber diferenciar entre progresiones geométricas y aritméticas y que, especialmente en las primeras, no es conveniente fiarse de sus primeros pasos.

Recordad que en las geométricas, cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante, y que es el típico tipo de crecimiento que tenemos que tener en cuenta a la hora de analizar las subidas de precio. Por ejemplo, en el caso de la burbuja inmobiliaria, si hubiésemos analizado lo que supone tener subidas sostenidas de precio del 12% anual durante quince años, veríamos que una vivienda que hubiese costado 90000 € en 1985, el año 2000 hubiera valido más de 400 mil euros, hoy costaría más de 2400000 (dos millones cuatrocientos mil) euros y dentro de quince años costaría más de trece millones. Absurdo, ¿verdad?.  Desgraciadamente a pesar de que era claro que las subidas sostenidas de precio eran insostenibles la gente seguía invirtiendo en vivienda porque, por una parte, era incapaz de diferenciar entre ambos tipos de progresiones y, por otra, porque estaban cegados por la codicia.

El corolario lógico nos llevaba a que en algún momento las subidas de precio tenían que ser próximas a cero, lo que haría que la gente no comprase vivienda para invertir (cese de la demanda) y debido a la inercia lógica del proceso de construcción de la vivienda, llegase un momento en que apareciese un stock de vivienda sin vender (aumento de la oferta), con la siguiente bajada de precios, lo que haría aumentar la oferta en un mercado sin demanda, con la siguiente bajada de precios... y el resto es ya historia.

Pero hoy voy a hablar de otro tipo de estafa que aparece siempre en época de crisis y que se ceba en los más débiles: los timos piramidales.

Los timos piramidales, o basados en esquemas de Ponzi, se basan en que los beneficios se obtienen por el dinero de nuevos inversionistas y no por la venta de ningún producto. Uno muy básico sería el siguiente. Te ofrecen vender por 20 € un lote de perfumes que a ti cuesta 10 €. Hasta ahí todo correcto (salvo por el detalle de que el lote de perfumes no vale ni  0,5 €). Peeeeeeeeeeero te dan otra opción mucho más atractiva: aportar dos nuevos vendedores cada uno de los cuales desembolsará 10 €, o sea 20 euros en total. De éstos, diez servirán para saldar tu deuda y los otros diez irán para la compañía, a fin de cubrir gastos y pagar comisiones. Con este sistema todo lo que obtengas por la venta de perfumes, o sea nada, será íntegro para ti y además se te apuntará al final de una lista de diez distribuidores. ¿Para qué sirve esta lista y cómo funciona? El funcionamiento es muy simple y, de nuevo, entra en juego la codicia. Según se vayan apuntando pardillos vendedores en la lista, ésta se va desdoblando, el primero de la lista sale de ella, llevándose cinco euros de comisión y todo el mundo sube un puesto. En la siguiente figura está explicado el procedimiento.

Esquema de Ponzi típico

La trampa está en que lo que tenemos es una progresión geométrica de razón dos. Si entras el último en una lista de primera generación, formada por los diez primeros integrantes, necesitarías 2¹⁰ = 1024 pardillos para llegar a la cima. En ese momento estarías el primero de una serie de 1024 listas de segunda generación y el último en llegar a ellas necesitaría ahora 2²⁰ pardillos, casi un millón, para llegar a la cima. El último de esa lista de segundo generación necesitaría a su vez 2³⁰ pardillos, mil millones, para llegar a la cima y así sucesivamente. Ni que decir tiene que los únicos que se hacen ricos son los gerifaltes de la primera generación y todos los demás pierden sus diez euros.
Naturalmente este sistema conoce múltiples variantes, como por ejemplo: la venta de sellos (caso Forum Filatélico), oro (Emgoldex), de acciones e inversiones varias (Madoff) o arrendamiento de apartamentos (Sofico).

Este procedimiento se ha ido sofisticando hasta convertirse prácticamente en un alter ego de los sistemas de ventas multinivel (SVM). En este tipo de sistemas los vendedores son retribuidos no solo por las ventas que ellos mismos generan sino también por las ventas generadas por los vendedores que forman parte de su estructura organizativa. Hay que dejar claro que los sistemas multinivel, como Amway, NO son una estafa aunque los beneficios que te prometen luego rara vez se alcancen. De hecho aunque la legislación prohíba, entre otras cosas, expresamente que el beneficio económico de la organización y de los vendedores no se obtenga exclusivamente de la venta o servicio distribuido a los consumidores finales sino de la incorporación de nuevos vendedores, a causa del fomento a reclutar vendedores subordinados, hay quien opina que, en el mejor de los casos, los SVM modernos no son más que esquemas piramidales legalizados

¿Si tanto se parece un SVM a un fraude piramidal, cómo podemos diferenciarlos?  En primer lugar tenemos que tener claro que el beneficio que obtenemos se deba a la venta del producto y no a la incorporación de nuevos miembros. Cuánto más nos insistan en la incorporación de vendedores que dependan de nosotros, más cerca estaremos de un fraude piramidal.

No obstante ya que ha llegado hasta aquí creo que se merece conocer la regla de oro para diferenciar un SVM de un fraude piramidal. Si alguna vez asiste a una presentación de un SVM y oye decir al conferenciante:

- Tranquilos, que esto no es un fraude piramidal (o esquema de Ponzi)

puede entonces levantarse con total tranquilidad y abandonar la sala. Esté totalmente seguro que, aunque no sea capaz de verlo, ESTÁ ante un fraude piramidal. ¿O es que acaso alguna vez ha ido a comprar un coche y el vendedor le ha dicho: "Tranquilo, que esto que le voy a vender no es una vaca"?.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (y 7)

Como a todo, también a esta historia le llega su fin y me gustaría hacer una recopilación final  de todo lo visto en los post anteriores, más alguna que otra cosa que se me quedó en el tintero.

Según nos cuenta Boyer (1968) también en la antigua Babilonia había tablas que contenían las sucesivas potencias de un número dado, análogas a las actuales tablas de logaritmos, aunque estrictamente hablando sean de antilogaritmos, en las que encontramos las primeras diez potencias para las bases 9, 16, 1.40 y 3.45. También aparecen en tablillas problemas del tipo: "a que potencia hay que elevar un número para poder hallar un número dado" lo que se correspondería a la actual definición de logaritmo. Lenguaje y notación aparte, hay dos diferencias principales entre esas tablas y nuestros logaritmos. La más evidente es el amplio intervalo que hay entre los valores sucesivos, lo que llevaba a los matemáticos babilonios a tener que interpolar de forma lineal para obtener los valores intermedios y el segundo es que sus tablas no estaban diseñadas para la realización de cálculos, si no más bien para resolver problemas específicos, como por ejemplo uno que dice¹: "cuando tiempo llevaría doblar una cantidad de dinero a un 20% de interés anual".

De los babilonios pasamos a los griegos y vemos que también en los enunciados de Euclides aparecen referencias a los exponentes y a Aristóteles quien vislumbró el procedimiento de convertir productos en sumas relacionando progresiones aritméticas y geométricas.

De un salto, pasamos de los romanos porque si bien como ingenieros eran unos fieras en matemáticas siempre flojearon, nos vamos a la Edad Media, al siglo XIV, donde Nicolle Oresme demuestra todas las reglas necesarias para trabajar con exponentes positivos. Cien años después N. Choquet agrega los exponentes negativos y el trabajo lo completa, en el siglo XVI, el alemán Michael Stifel empleando  exponentes fraccionarios.

Todo estaba dispuesto para que Bürgi y Napier de forma independiente desarrollaran el concepto del logaritmo a principios del siglo XVII. Como vimos en entradas anteriores, la definición de logaritmo de Napier es equivalente a\[N = {10^7}{\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^L}\]Un adecuado re-escalado de las variables N y L, dividiéndolas por 10⁷, convierte la ecuación anterior en\[N' = {\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^{L'}} = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^{L'}}\]que en términos modernos se expresaría como:

L' es el logaritmo en base (1-1/10⁷)⁷ de N'

Como el valor de esa base es prácticamente igual a 1/e, frecuentemente se le atribuya a Napier el descubrimiento del número e, aunque la realidad es que el concepto de base de logaritmo se desarrolló posteriormente al introducir los logaritmos comunes. La segunda edición de la traducción al inglés de su obra, por Edward Wright, trajo un bonus: un apéndice con tablas de logaritmos, algunos de cuyos valores se corresponden con el logaritmo que se obtendría usando la base 2.718, que se parece al número e, pero no se llegaba a mencionarlo de forma explícita.

La historia se completa con Euler, quien en 1705, los relacionó con la función exponencial y definió los logaritmos tal y como los conocemos actualmente.


Los logaritmos,  hasta el advenimiento de las calculadoras, han sido una herramienta imprescindible para poder realizar cálculos complejos pero si la pregunta que os hacéis es si a día de hoy, siguen dando juego, la verdad es que los logaritmos están más vivos que nunca. Hay fenómenos que presentan un amplio rango de variación entre sus valores máximo y mínimo y para los que una escala lineal no resulta adecuada. Por ejemplo el peso de los mamíferos varía entre los 3 gr de una musaraña y las 150 T de una ballena azul, lo que resultaría complicado de representar en una escala lineal, mientras que a escala logarítmica el rango de valores sería mucho más manejable ya que iría del -2,5 al 5,3.

Pero hay aún hay más: tanto el brillo con el que vemos las estrellas como la energía que se libera en un terremoto se miden con escalas logarítmicas. ¿Más ejemplos? El grado de acidez de una disolución, el nivel de ruido, la ley de enfriamiento de los cuerpos (que permite determinar la hora de la muerte) y en general cualquier proceso donde esté involucrada una función exponencial o una progresión geométrica como pueda ser la datación por elementos radioactivos (el célebre carbono-14), el crecimiento de poblaciones o el interés compuesto.

Fue precisamente el estudio de interés compuesto el que sacó a la luz a un nuevo número, del que ya hemos hablado someramente y que, por su importancia, se merece, al menos, una entrada propia: el número e, base además de los llamados logaritmos naturales o neperianos. ¿Que por qué se llaman así? Bueno, eso lo dejaremos para otro día.

Las tablas de logaritmos han sido ampliamente utilizadas desde el mismo momento de su invención por estudiantes, astrónomos, ingenieros y científicos de todo el mundo. Inclusive hubo quien en vez de mirar en las tablas miró a las tablas y descubrió que... Permitidme también que me lo guarde porque lo que descubrió da para otra historia.




Notas:
¹ ¡Hala! Ya tenéis trabajo para el fin de semana. Eso sí hacerlo al modo babilonio usando una tabla de potencias de 1,2.

Bibliografía
Amy Shell-Gellasch (2010) Napier's e Mathematical Association of America. (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bourbaki N. (1976) Elementos de historia de las matemáticas. Alianza  Editorial.

Boyer, C. (1968) A History of Mathematics Wiley and sons. Nueva York (USA). (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bruce et al (2014) Euler : Some Papers. (Consultado 18 de mayo de 2015)

El progreso imparable. Soluciones.

Llegó el momento de dar las soluciones a los problemas que os planteé en esta otra entrada.

En el primero te proponían un intercambio. Yo te efectuaba diez mil pagos, siendo cada uno de ellos igual al anterior más 20 euros y, a cambio, tú me hacías doscientos pagos, siendo el primero de 1 euro y los demás un diez por ciento más que el anterior. Las dos secuencias de pagos serían:

Yo a tí: 10 €, 30 €, 50 €, 70 €, 90 €, ... , diez mil veces
Tú a mí: 1 €, 1.10 €, 1.21 €, 1.331 €, 1.4641 €, ... , doscientas veces

Para ayudarte a tomar una decisión, y que veas que no quiero aprovecharme de ti, voy a decirte lo que me tocaría pagarte. Si aplicas la fórmula de la anterior entrada:  \[Suma = \frac{{10 + 199990}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]o sea mil millones de euros, sí has leído bien, mil millones. Por mi parte, tendrían que pasar 25 pagos, para que me hicieras un pago de 10 euros, que fue tu pago inicial. Ahora, por favor, vuelve a pensar si te interesa el trato.

Si lo has aceptado, tengo una mala noticia: has hecho un pésimo negocio. Si aplicas la formula que te permite sumar los doscientos primeros términos de una progresión geométrica de razón 1,1:$$S = \frac{{ {1.1^{200}\times 1.1}-{1} }}{{1.1 - 1}}\approx 18,99\times 10^{9}$$O sea aproximadamente 19 veces la cantidad que yo te había pagado.

En el siguiente problema proponía hacer una una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas, repitiendo el proceso 64 veces. Tenemos una progresión aritmética de razón 100 y el número total de hojas sería: \[Suma = \frac{{100 + 64000}}{2}100 = 3205000\]Como el grosor de una hoja de papel viene a ser de una décima de milímetro la altura final sería de unos 320 m, que es el equivalente a un edificio de 90 plantas. En el segundo caso teníamos 64 hojas e íbamos dividiendo cada vez cada hoja el doble de veces que la vez anterior y apilando los trocitos de papel. Lo mejor de este problema es que, físicamente, es imposible hacerlo. Si hablamos de una hoja tamaño DIN A4, hacia la mitad del taco nuestros pedazos de hoja de papel tendrían el tamaño de un átomo de hidrógeno, y todos sabemos lo difícil que resulta partir un átomo de hidrógeno por la mitad, a menos que seas de Bilbao y tengas unas tijeras muy, pero que muy, afiladas. Aún en el supuesto de que hubiésemos podido seguir dividiendo las hojas, para colocar el último pedazo de la última hoja tendríamos que trasponer bastante más allá de los límites del Sistema solar, lo que te saldría, aún teniendo abono de transportes, por un pico.

El último problema era saber que había de verdad en leyenda del origen del juego del ajedrez. Para rellenar el tablero, el rey necesitaría 2⁶⁵ granos de arroz, que a un peso de 0,027 g por grano nos da una cantidad total de 9,92 x 10¹¹ toneladas de arroz. Como la producción mundial prevista de arroz para el año 2015 es de 474,6 millones de toneladas, se necesitarían 2082 años de cosechas para poder recompensar al sabio.


¿Cuáles son los errores que cometemos cuando se nos presenta un problema de este tipo? Si nos fijamos en el primer ejemplo, mal razonamos pensando que, si hemos necesitado 25 pagos para llegar a 10 €, necesitaremos otros 25 pasos para llegar a 20, cuando la realidad es que los siguientes 25 pasos nos van a llevar a 100 €, los siguientes 25 a 1000 €, y así sucesivamente. Pero además es que tenemos tendencia a olvidar los pagos intermedios. Efectivamente el pago número 25 ha sido de 10 €, pero la suma de los pagos del 1 al 24 ha sido de 100 €, y el pago número 50 de 100 €, pero la suma de los anteriores asciende a 1100 €.

En resumen la aparente lentitud inicial con la que crecen las progresiones geométricas nos enmascaran su comportamiento tan traicionero, lo que nos va a llevar indefectiblemente al desastre.

A estas alturas seguro que te estarás preguntando para que te va a servir saber todo esto en tu día a día.

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa. (5)

Griegos, chinos, árabes, todos porfiando por medir el tamaño de la Tierra y a fuer de ser sinceros, ninguno de ellos más original que el otro. Pero siempre hay alguien que se busca las habichuelas para ser algo más original que los demás y así poder destacar sobre el resto.

El persa Al-Biruni, sin duda, debió de ser uno de esos tipos. Incasable viajero, hablaba fluídamente varios idiomas (al menos siete) y era una auténtica enciclopedia científica andante. En sus más de 180 trabajos, lamentablemente la mayor parte de ellos perdidos, tocaba, y además bien, todos los palos del conocimiento: desde la astronomía hasta la teología pasando por la historia y las matemáticas. No hay en todo Occidente alguien con quien pueda comparársele.

Conocedor de la historia de al-Mamun, que ya hemos contado en este blog, decidió repetir su experimento, pero ante la falta de fondos para realizarlo y las dificultades que entrañaba el hacerlo¹ decidió que fueran sus neuronas y no sus pies los que recorrieran el camino. Este ingenioso método además de evitar que te llenes las babuchas de arena tiene la ventaja de que las distancias a medir sean más cortas y que no es necesario seguir la dirección del meridiano, lo que a priori le hace un método más exacto que los anteriores.

El procedimiento se basa en medir la altura² del horizonte, θ, desde una montaña de altura conocida.

Oops... Creo recordar que nadie había dicho nada de medir la altura de una montaña.

Afortunadamente al-Biruni, desde su juventud, sabía cómo hacerlo: Desde dos puntos alineados con la cumbre de la montaña (véase la figura 1), cuya distancia entre ellos es conocida,

Figura 1. Determinación de la altura de una montaña

y, aproximadamente, a la misma altura se miden los ángulos cenitales a la cumbre, y mediante la sencilla relación trigonométrica:$$\Delta H = \frac{{\cot {L_{AC}}\;\cot {L_{BC}}}}{{\cot {L_{BC}} - \cot {L_{AC}}}}{d_{AB}}$$podemos determinar la altura de la montaña.

Ahora toca la segunda parte. Subimos a la cumbre de la montaña, y, como vemos en la figura 2, medimos la altura del horizonte, θ.

Figura 2. Determinación del radio terrestre.

Como el triángulo APO es rectángulo en P, aplicando el teorema del seno$$\frac{{R + H}}{{\sin 90}} = \frac{R}{{\sin \left( {90 - \theta } \right)}}$$se llega fácilmente a:$$R = \frac{{\cos \theta }}{{1 - \cos \theta }}\;H$$Los resultados que obtuvo con los datos que tomó en Nandana, (652,055 codos de altura y 0º34' de altura), determinó que el radio terrestre era de 12851369,845 codos. Como la medida del codo que usó al-Biruni era 493 mm nos iríamos a un radio terrestre igual a unos 6336 km.

Naturalmente este método no está exento de problemas. Desconocemos la instrumentación que utilizó, aunque como lo más probable fuese que usase un astrolabio, cuya precisión está limitada a un cuarto de grado, lo que influye en la exactitud de los resultados. Además la medición de la altura del horizonte desde lo alto de la cumbre de una montaña es mucho más fácil de decir que de hacer. De entrada la montaña de estar sobre una llanura, donde no existan otras elevaciones que le oculten el horizonte. Además se necesita una vista clara del horizonte, por lo que la atmósfera ha de estar limpia de polvo y completamente transparente, lo que en astronomía se conoce con un seeing I. Estas condiciones de transparencia atmosférica son las que se suelen tener después de una buena lluvia. Como el valor de θ es tan ajustado es de suponer que tuvo que armarse de paciencia y repetir en varias ocasiones sus medidas para poder promediar posteriormente. Como, según parece, tampoco tuvo en cuenta el efecto de la refracción atmosférica, es de suponer que sus resultados deberían estar afectados por algún tipo de error sistemático pero, sorprendentemente, no lo están. Lo que nos lleva a suponer que Biruni probó su método en diferentes escenarios y que se quedó con aquellos resultados que más se ajustaban al valor obtenido por al-Mamun. Naturalmente, y a falta de sus cuadernos de campo, todo esto no son más que suposiciones.

Pero, ¿saben lo mejor? Pues que esa no fue la única contribución de al-Biruni al campo de la geodesia.



Notas
¹ "¿Quién va ayudarme en esta aventura?" - decía - "Se requiere un gran control sobre enormes extensiones de desierto, y hay que tener mucho cuidado con los peligros traicioneros que hay en él. Una vez elegí para este proyecto las localidades entre Dahistan, en las proximidades de Jurjan  y la tierra de los turcos, pero los resultados no fueron alentadores y entonces, quienes financiaron el proyecto, perdieron interés en él" (Gomez, 2010)

² La altura es el ángulo complementario del ángulo cenital.



Fuentes
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S. H. Barani, “Muslim Resear­ches in Geodesy,” in Al-Bīrūnī Commemoration Vol­ume, Calcutta, 1951, pp. 1-52.
J. H. Kramers, “Al-Bīrūnī’s Determin­ation of Geographical Longitude by Measuring the Distances,” in Al-Bīrūnī Commemorative Volume, Calcutta, 1951, pp. 177-83.
Al-Biruni. Un precursor de la ciencia moderna. Kalamo libros S. L. (consultado 5 de mayo de 2015).
Berggren, (1982) “Al-Bīrūnī on Plane Maps of the Sphere,” JHAS 6, pp. 47-95
Butterfield, A (1906) A history of the determination of the figure of the earth from arc measurements. Davis Press. Worcester, Mass.
Gomez, A. G. (2010) Biruni's Measurement of the Earth. (consultado 5 de mayo de 2015).
Mercier, R. P., (1994) ‘Geodesy,’ The History of Cartography, ed. by J. B. Harley and D. Woodward, Chicago and London, University of Chicago Press, Vol. 2, Book 1
O'Connor, J. J. and Robertson E. F. Al Biruni Biography. McTutor History of Mathematics Archive. Univ. of St. Andrews. (consultado 5 de mayo de 2015).
Pingree, D. BĪRŪNĪ, ABŪ RAYḤĀN iv. Geography. Encyclopaedia Iranica. Vol. IV, Fasc. 3, pp. 279-281Sparavigna, A.C. (2014). Al-Biruni and the Mathematical Geography. PHILICA.COM Article number 443.
Sparavigna, A.C. (2014). The Ten Spheres of Al-Farabi: A Medieval Cosmology, International Journal of Sciences, vol.3 n.6, pp.34-39
Stone, M. H (2014), The Cubit: A History and Measurement Commentary